Question

【题目】如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，E、F分别是AC、AB边上的点，连接EF．

（1）如图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF＝3S△EDF，AE的长为 ；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA．

①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN＝1，CE＝，则= ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①四边形AEMF是菱形，见解析；②EF；（3）

【解析】

(1)先利用折叠的性质得到EF⊥AB，△AEF≌△DEF，则S△AEF=S△DEF，则易得S△ABC=4S△AEF，再证明Rt△AEF∽Rt△ABC，然后根据相似三角形的性质得到，再利用勾股定理求出AB即可得到AE的长；

（2）①邻边相等的平行四边形即为菱形，即可证明AEMF为菱形；

②连结AM交EF于点O，如图②，设AE=x，则EM=x，CE=4-x，先证明△CME∽△CBA得到，解出x后计算出CM=，再利用勾股定理计算出AM，然后根据菱形的面积公式计算EF；

（3）如图③，作FH⊥BC于H，先证明△NCE∽△NFH，利用相似比得到FH：NH=4：7，设FH=4x，NH=7x，则CH=7x-1，BH=3-（7x-1）=4-7x，再证明△BFH∽△BAC，利用相似比可计算出x=，则可计算出FH和BH，接着利用勾股定理计算出BF，从而得到AF的长，于是可计算出的值．

(1)如图①，

∵△ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，

∴EF⊥AB，△AEF≌△DEF，
∴S△AEF=S△DEF，

∵S四边形ECBF=3S△EDF，

∴S△ABC=4S△AEF，

在Rt△ABC中，

∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴AB=5，

∵∠EAF=∠BAC

∴Rt△AEF∽Rt△ABC，

∴，即S

AE=

(2)①四边形AEMF是菱形，理由如下：

如图②：∵折叠后点A落在BC边上的点M处，

∴∠CAB＝∠EMF，AE＝ME，

又∵MF∥CA，

∴∠CEM＝∠EMF．

∴∠CAB＝∠CEM．

∴EM∥AF．

∴四边形AEMF是平形四边形．

又∵AE＝ME，

∴四边形AEMF是菱形

②连接AM、AM与EF交于点O，如图②，

设AE＝x，则AE＝ME＝x，EC＝4－x．

∵∠＝∠CAB，∠ECM＝∠ACB＝90°，

∴Rt△ECM∽Rt△ACB

∴

即

解得x＝，CM=

在Rt△ACM中，

AM＝

∵S菱形AEMF=

∴EF=

（3）如图③，作FH⊥BC于H

∵EC∥FH，

∴△NCE∽△NFH，

∴CN:NH=CE:FH，即1:NH=:FH，

∴FH:NH=4:7，

设FH=4x，NH=7x，

则CH=7x1，BH=3(7x1)=47x，

∵FH∥AC，

∴△BFH∽△BAC，

∴BH:BC=FH:AC，即(47x):3=4x:4，

解得x=，

∴FH=4x=，BH=47x=

在Rt△BFH中，BF=

∴AF=ABBF=52=3，

∴