Question

5．如图，已知四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，E、F分别位于DC边和BC边上．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若正方形ABCD的边长为1，求等边三角形AEF的面积；
（3）将△AEF绕着点E逆时针旋转m（0＜m＜180）度，使得点A落在正方形ABCD的边上，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是正方形，得到AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到∠DAE=∠BAF，于是得到结论；
（2）设BF=x，由（1）可知DE=BF=x，则，CF=CE=1-x根据勾股定理列方程得到x=2$-\sqrt{3}$，根据图形的面积公式即可得到结论；
（3）依题意，点A可落在AB边上或BC边上．当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM，根据等腰三角形的性质得到∠EMB=75°，于是得到m=∠AEM=180°-75°-75°=30°，当点A落在边BC上时，得到m=∠AEF=60°．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，AF=AE，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABF与Rt△ADE，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{AF=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△ADE，
∴∠DAE=∠BAF
又∠DAE+∠BAF=∠BAD-∠EAF=90°-60°=30°
∴∠DAE=15°；

（2）设BF=x，由（1）可知DE=BF=x，则，CF=CE=1-x
AB²+BF²=AF²，CF²+CE²=EF²，AF=EF，得：1²+x²=2（1-x）²
x₁=2+$\sqrt{3}$，x₂=2$-\sqrt{3}$，
∵0＜x＜1，
∴x₁=2+$\sqrt{3}$ （舍去），x=2$-\sqrt{3}$，
∴S_△AEF=S_{四边形ABCD}-2S_△ABF-S_△EFC=1²-2×$\frac{1}{2}×$1×（2-$\sqrt{3}$）-$\frac{1}{2}×$（$\sqrt{3}$-1）²=2$\sqrt{3}$-3；

（3）依题意，点A可落在AB边上或BC边上．
当点A落在AB边上时，设此时点A的对应点为M，则EA=EM，
∵∠EAB=75°，
∴∠EMB=75°，
∴m=∠AEM=180°-75°-75°=30°，
当点A落在边BC上时，
∵EA=EF，点A旋转后与点F重合，
∴m=∠AEF=60°，
综上，m=30°或m=60°．

点评 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键．