Question

【题目】在中，，，，动点P在AB边上（不含端点A，B），以PC为直径作圆．圆与BC，CA分别相交于点M，N，则线段MN长度的最小值为________．

Answer 1

【答案】4.8．

【解析】

设MN的中点为O，若⊙O与AB的切点为P，连接PO，CP，CO，则有OP⊥AB；由勾股定理可求得BC的长为6，通过MN=MO+NO=OP+OC及△PCO的三边关系可得到MN≥CP所以此当MN=CD时，MN有最小值，即为CP的长．

解：如图，设MN的中点为O，当⊙O与AB的切点为P时，连接PO，连接CP，CO，则有OP⊥AB．

∵AB=10，AC=8，
∴BC=6，
∵MN=MO+NO，NO=OC，MO=OP，

∴OC+OP=MN，
∴OC+OP≥CP，MN≥CP．
∴当MN=CP时，MN有最小值，
∵OP⊥AB，
∴CP⊥AB．

∴

∴

∴CP=4.8，

即线段MN长度的最小值为4.8．
故选：D．