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【题目】如图,已知正三角形ABC的边长AB480毫米.一质点D从点B出发,沿BA方向,以每秒钟10毫米的速度向点A运动.

(1)建立合适的直角坐标系,用运动时间t(秒)表示点D的坐标;

(2)过点D在三角形ABC的内部作一个矩形DEFG,其中EFBC边上,GAC边上.在图中找出点D,使矩形DEFG是正方形(要求所表达的方式能体现出找点D的过程);

(3)过点D、B、C作平行四边形,当t为何值时,由点C、B、D、F组成的平行四边形的面积等于三角形ADC的面积,并求此时点F的坐标.

【答案】(1);(2) 当点D与点B的距离等于10t=960(2﹣)毫米时,矩形是正方形;(3) F(560,80),F′(400,﹣80,F″(﹣400,80

【解析】

运用相似三角形及平行四边形的性质求解.

(1)建立如图所示的直角坐标系,作DEx轴于E,

t秒后,DB=10t

ABC是正三角形,故∠B=60°

RtDEB中,DE=DB×sinB=10t×=5t,

BE=DB×cosB=10t×=5t

即:D(5t,5)

(2)①先画一个正方形,再利用位似图形找出点D,具体作法阅图

②利用正三角形与矩形是轴对称图形或利用相似三角形的性质求得DG=480﹣10t,DE=5t.然后由480﹣10t=5t,

求出t==96(2﹣)(毫米).所以当点D与点B的距离等于10t=960(2﹣)毫米时,矩形是正方形.

(3)如图所示:

当点F在第一象限时,这个平行四边形是CBDF;

当点F在第二象限时,这个平行四边形是BCDF“;

当点F在第三象限时,这个平行四边形是CDBF'.

但平行四边形BCDF“的面积、平行四边形CDBF'的面积

都与平行四边形CBDF的面积相等(等底等高)

平行四边形CBDF的底BC=480,相应的高是5则面积是2400;三角形ADC的底AD=480﹣10t,相应的高是240

则面积是120(480﹣10t).

由2400 =12048010t),解得t=16

所以当t=16秒时,由点C、B、D、F组成的平

行四边形的面积等于三角形ADC的面积.

∴此时,点F的坐标是F(560,80),F′(400,﹣80),F″(﹣400,80).

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