Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC=10，点D是边BC上一动点(不与B，C重合)，∠ADE=∠B=α，DE交AC于点E，且cosα=，下列结论：

①△ADE∽△ACD；

②当BD=6时，△ABD与△DCE全等；

③当△DCE为直角三角形时，BD为8或；

④0＜CE≤6.4．

其中正确的结论是(　　)

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①先证明∠B=∠C，从而可得出∠ADE=∠C，又∠DAE=∠CAD可得出结论；②作AG⊥BC于G，先求出BG的长，从而可得出BC的长，再得出DC=10=AB，可由ASA证明△ABD≌△DCE；③分两种情况：当∠AED=90°时，由①知△ADE∽△ACD，从而有∠ADC=∠AED=90°，则有BD=CD，最后∠ADE=∠B=α且cosα=可得出BD的长；当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，则∠CDE=90°=∠BAD，最后根据cosα=cosB=可得出结果；④先证明△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，得，即，然后可得出y与x之间的关系式为(y﹣8)2=64﹣10x，从而可得出结果．

解：①∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴∠ADE=∠C，又∠DAE=∠CAD，∴△ADE∽△ACD，故①正确；

②作AG⊥BC于G，∵AB=AC=10，∴BC=2BG，又∠ADE=∠B=α，cosα=，∴BG=ABcosα=8，∴BC=2BG==16，∵BD=6，∴DC=10，∴AB=DC，又∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，又∠B=∠ADE，∴∠BAD=∠CDE，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE(ASA)，故②正确；

③当∠AED=90°时，由①可知：△ADE∽△ACD，∴∠ADC=∠AED，∵∠AED=90°，∴∠ADC=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，∴∠ADE=∠B=α且cosα=，AB=10，BD=8；当∠CDE=90°时，易△CDE∽△BAD，∵∠CDE=90°，∴∠BAD=90°，∵∠B=α且cosα=，AB=10，∴cosB=，∴BD=，故③正确；

④易证得△CDE∽△BAD，由②可知BC=16，设BD=y，CE=x，∴，∴，整理得：y2﹣16y+64=64﹣10x，即(y﹣8)2=64﹣10x，∴0＜x≤6.4，故④正确；

故选：D．