Question

11．（1）如图1所示，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请填空：$\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（直接写出答案）；
（2）如图2所示，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO₁C₁，连接AO₁，DC₁，请你猜想线段AO₁与DC₁之间的数量关系，并证明之；
（3）如图3所示，矩形ABCD和Rt△BEF有公共顶点B，且∠BEF=90°，∠EBF=∠ABD=30°，则$\frac{AE}{DF}$的值是否为定值？若是定值，请求出该值；若不是定值，请简述理由．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质计算即可；
（2）根据旋转变换的性质得到∠ABO=∠O₁B，C₁，根据正方形的性质得到$\frac{AB}{BD}$=$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$，证明△ABO₁∽△DBC₁，根据相似三角形的性质解答；
（3）根据正弦的定义和矩形的性质证明△AEB∽△DFB，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，△AOD是等腰直角三角形，
∴$\frac{AO}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AO}{DC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）∵△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO₁C₁，
∴∠ABO=∠O₁B，C₁，
∴∠ABO₁=∠DBC₁，
∵四边形ABCD是正方形，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，又$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{{O}_{1}B}{B{C}_{1}}$，又∠ABO₁=∠DBC₁，
∴△ABO₁∽△DBC₁，
∴$\frac{A{O}_{1}}{D{C}_{1}}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）在Rt△EBF中，∠EBF=30°，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ABD中，∠ABD=30°，
∴$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{BE}{BF}$=$\frac{AB}{BD}$，
∵∠EBF=∠ABD，
∴∠EBA=∠FBD，
∴△AEB∽△DFB，
∴$\frac{AE}{DF}$=$\frac{AB}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、矩形的性质、旋转变换的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是直角、相似三角形的判定定理和性质定理、旋转变换的性质是解题的关键．