Question

【题目】已知平面图形S，点P、Q是S上任意两点，我们把线段PQ的长度的最大值称为平面图形S的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度．

（1）写出下列图形的宽距：

①半径为1的圆：　 　；

②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　；

（2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的宽距为d．

①若d＝2，求点C所在的区域的面积；

②若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在过点（0，2）且与y轴垂直的直线上．对于⊙M上任意点C，都有5≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）2；②1+；（2）①π；②，．

【解析】

（1）①根据平面图形S的宽距定义可直接得出答案；②正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC，根据勾股定理可求出OC，从而得到答案；

（2）①如图2-1，点C所在的区域是图中，面积为；②如图2-2，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T，求出d的值，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可.

解：（1）①半径为1的圆的宽距离为2，

故答案为2．

②如图1，正方形ABCD的边长为2，设半圆的圆心为O，点P是⊙O上一点，连接OP，PC，OC．

在Rt△ODC中，

∴OP+OC≥PC，

∴，

∴这个“窗户形“的宽距为．

故答案为1+．

（2）①如图2﹣1中，点C所在的区域是以AB为直径的圆，因为点A（﹣1，0）、B（1，0），所以此圆的半径为1，所以面积为π．

②如图2﹣2中，当点M在y轴的右侧时，连接AM，作MT⊥x轴于T．

∵AC≤AM+CM，又∵5≤d≤8，

∴当d＝5时．AM＝5-1=4，MT=2

∴，此时，

当d＝8时．AM＝8-1=7，MT=2

∴，此时，

∴满足条件的点M的横坐标的范围为．

当点M在y轴的左侧时，满足条件的点M的横坐标的范围为．

故答案为，.