【题目】已知二次函数的图象与x轴交于(
, 0)和(
, 0), 其中
,与
轴交于正半轴上一点.下列结论:①
;②
;③a>b;④
.其中正确结论的序号是____________.
【答案】②④
【解析】根据与坐标轴的交点判断出a<0,然后把交点坐标(1,0)代入函数解析式求出a、b、c的关系式,再判断出对称轴在-到0之间,然后对各小题分析判断即可得解.
∵抛物线与x轴的交点为(1,0)和(x1,0),-2<x1<-1,与y轴交于正半轴,
∴a<0,
∵-2<x1<-1,
∴-<-
<0,
∴b<0,b>a,故①错误,③错误;
∵抛物线与x轴有两个交点,
∴b2-4ac>0,
∴ac<b2,故②正确;
∵抛物线与x轴的交点有一个为(1,0),
∴a+b+c=0,
∴b=-a-c,
∵b<0,b>a(已证),
∴-a-c<0,-a-c>a,
∴c>-a,c<-2a,
∴-a<c<-2a,故④正确,
综上所述,正确的结论有②④.
故答案为:②④.
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【题目】如图,D是△ABC外接圆上的动点,且B,D位于AC的两侧,DE⊥AB,垂足为E,DE的延长线交此圆于点F.BG⊥AD,垂足为G,BG交DE于点H,DC,FB的延长线交于点P,且PC=PB.
(1)求证:BG∥CD;
(2)设△ABC外接圆的圆心为O,若AB=DH,∠OHD=80°,求∠BDE的大小.
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【题目】如图,∠AOB=30°,点P为∠AOB内一点,OP=8.点M、N分别在OA、OB上.当△PMN周长最小时,下列结论:①∠MPN等于120°;②∠MPN等于100°;③△PMN周长最小值为4;④△PMN周长最小值为8,其中正确的是( )
A.①③B.②③C.①④D.②④
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【题目】如图,平面直角坐标系中,A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
(1)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线M于点H,证明:PA=PH.
(2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转,且AP=PQ,∠APQ=90°,连接BQ,点G为BQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,在△ABC中,BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线,过点E作DF∥BC交AB于D,交AC于F,若AB =5,AC =4,则△ADF周长为( ).
A.7B.8C.9D.10
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【题目】如图,,点
、
分别在
、
上,连接
,
、
的平分线交于点
,
、
的平分线交于点
.
求证:四边形
是矩形.
小明在完成
的证明后继续进行了探索,过点
作
,分别交
、
于点
、
,过点
作
,分别交
、
于点
、
,得到四边形
.此时,他猜想四边形
是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.
小明的证明思路:由,
,
易证,四边形
是平行四边形.要证□
是菱形,只要证
.由已知条件________,
,可证
,故只要证
,即证
,易证________,________,故只要证
,易证
,
,________,故得
,即可得证.
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