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【题目】如图,平面直角坐标系中,A03)、B30)、C(﹣30).

1)过B作直线MNABP为线段OC上的一动点,APPH交直线M于点H,证明:PAPH

2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰RtAPQ绕点A旋转,且APPQ,∠APQ90°,连接BQ,点GBQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.

【答案】1)见解析;(2OGPGOGPG,见解析.

【解析】

1)利用A02)、B20)、C(﹣20),得到ABCOACOAB都是等腰直角三角形,如图1,过点PPGABy轴与G,则∠4=∠645°,再证明APG≌△PHB,得到PAPH

2OGPGOGPG,理由:如图2,延长PGR,使GRPG,连接POORBR,证明PQG≌△BRG,得到PQBR,∠5=∠GBR,进而APPQ,再延长APBRS,交OBT,则APBR,证明PAO≌△RBO,得到POOR,∠1=∠2,所以POR为等腰直角三角形,根据PGGR,所以OGPGOGPG

1)∵A03)、B30)、C(﹣30).

OAOBOC

∴△ABCOACOAB都是等腰直角三角形,

∴∠6=∠745°

如图1,过点PPGABy轴与G,则∠4=∠645°

OPOG

AO+OGOB+OP

AGPB

APPH

∴∠2+590°

∵∠1+590°

∴∠1=∠2

MNAB

∴∠3+790°

∴∠345°

∴∠3=∠4

APGPHB中,


∴△APG≌△PHBASA),
PA=PH
2)结论:OG=PGOGPG

理由:如图2,延长PGR,使GR=PG,连接POORBR
在△PQG和△BRG中,

∴△PQG≌△BRGSAS),
PQ=BR,∠5=GBR
PQBR
APPQ
延长APBRS,交OBT,则APBR
∵∠AOB=ASB=90°,∠ATR=BTS
∴∠α=β
PA=PQPQ=BR
PA=BR
在△PAO和△RBO中,

∴△PAO≌△RBOSAS),
PO=OR,∠1=2
∵∠1+POB=90°
∴∠POB+2=90°
∴△POR为等腰直角三角形,
PG=GR
OGPGOG=PG

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