【题目】如图,平面直角坐标系中,A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
(1)过B作直线MN⊥AB,P为线段OC上的一动点,AP⊥PH交直线M于点H,证明:PA=PH.
(2)在(1)的条件下,若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转,且AP=PQ,∠APQ=90°,连接BQ,点G为BQ的中点,试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系,并证明你的结论.
【答案】(1)见解析;(2)OG=PG,OG⊥PG,见解析.
【解析】
(1)利用A(0,2)、B(2,0)、C(﹣2,0),得到△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,如图1,过点P作PG∥AB交y轴与G,则∠4=∠6=45°,再证明△APG≌△PHB,得到PA=PH.
(2)OG=PG,OG⊥PG,理由:如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,证明△PQG≌△BRG,得到PQ=BR,∠5=∠GBR,进而AP⊥PQ,再延长AP交BR于S,交OB于T,则AP⊥BR,证明△PAO≌△RBO,得到PO=OR,∠1=∠2,所以△POR为等腰直角三角形,根据PG=GR,所以OG⊥PG,OG=PG.
(1)∵A(0,3)、B(3,0)、C(﹣3,0).
∴OA=OB=OC,
∴△ABC,△OAC,△OAB都是等腰直角三角形,
∴∠6=∠7=45°,
如图1,过点P作PG∥AB交y轴与G,则∠4=∠6=45°,
∴OP=OG,
∴AO+OG=OB+OP,
即AG=PB,
∵AP⊥PH,
∴∠2+∠5=90°,
∵∠1+∠5=90°,
∴∠1=∠2,
∵MN⊥AB,
∴∠3+∠7=90°,
∴∠3=45°,
∴∠3=∠4,
在△APG和△PHB中,
,
∴△APG≌△PHB(ASA),
∴PA=PH.
(2)结论:OG=PG,OG⊥PG,
理由:如图2,延长PG到R,使GR=PG,连接PO,OR,BR,
在△PQG和△BRG中,
,
∴△PQG≌△BRG(SAS),
∴PQ=BR,∠5=∠GBR,
∴PQ∥BR,
∵AP⊥PQ,
延长AP交BR于S,交OB于T,则AP⊥BR,
∵∠AOB=∠ASB=90°,∠ATR=∠BTS,
∴∠α=∠β,
∵PA=PQ,PQ=BR,
∴PA=BR,
在△PAO和△RBO中,
,
∴△PAO≌△RBO(SAS),
∴PO=OR,∠1=∠2,
∵∠1+∠POB=90°,
∴∠POB+∠2=90°,
∴△POR为等腰直角三角形,
∵PG=GR,
∴OG⊥PG,OG=PG.
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