Question

【题目】如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB内一点，OP＝8．点M、N分别在OA、OB上．当△PMN周长最小时，下列结论：①∠MPN等于120°；②∠MPN等于100°；③△PMN周长最小值为4；④△PMN周长最小值为8，其中正确的是（　　）

A.①③B.②③C.①④D.②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的周长＝P1P2，然后证明△OP1P2是等边三角形，即可求解．

分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连P1、P2，交OA于M，交OB于N，

则OP1＝OP＝OP2，∠P1OA＝∠POA，∠POB＝∠P2OB，

MP＝P1M，PN＝P2N，则△PMN的周长的最小值＝P1P2

∴∠P1OP2＝2∠AOB＝60°，

∴△OP1P2是等边三角形，

∴∠MPN＝∠OPM+∠OPN＝∠OP1M+∠OP2N＝120°

△PMN的周长＝P1P2，

∴P1P2＝OP1＝OP2＝OP＝8，

∴①④正确，

故选：C．