Question

（1）说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题．
（2）求证：三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

Answer 1

考点：命题与定理,线段垂直平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）把原命题的题设与结论交换得到逆命题，然后写出已知、求证，利用三角形全等的方法证明逆命题为真命题；
（2）先写出已知、求证、证明，然后根据线段的垂直平分线的性质定理和逆定理进行证明．

解答：（1）解：“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上”．此逆命题为真命题．
已知：如图，CA=CB，
求证：点C在线段AB的垂直平分线上．
证明：作CD⊥AB，如图1，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠BDC=90°，
在Rt△ADC和△Rt△BDC中，

CD=CD AC=BC

，
∴Rt△ADC≌△Rt△BDC，
∴AD=BD，
∴CD垂直平分AB，
即点C在线段AB的垂直平分线上；
（2）已知：如图2，点O为边AB与CB的垂直平分线的交点，
求证：点O在AC的垂直平分线上．
证明：∵点O为边AB与CB的垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OB=OC，
∴OA=OC，
∴点O在AC的垂直平分线上，
即三角形三条边的垂直平分线相交于一点．

点评：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．