如图.在等边△ABC中.B.以底边BC的垂直平分线和BC所在直线建立平面直角坐标系.把△ABC绕着点C顺时针旋转60°的得到△DEF.(旋转后D与A.E与B.F与C对应)(1)求:经过A.B.D三点的抛物线解析式②在抛物线的对称轴上存在一点.使得以点C.D.M为顶点的三角形是直角三角形.请直接写出点M的坐标, (3)在直线BD上方的抛物线上是否存在一点P.使得△PBD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图，在等边△ABC中，B（-1，0）、C（1，0），以底边BC的垂直平分线和BC所在直线建立平面直角坐标系，把△ABC绕着点C顺时针旋转60°的得到△DEF，（旋转后D与A、E与B、F与C对应）
（1）求：经过A、B、D三点的抛物线解析式
②在抛物线的对称轴上存在一点，使得以点C、D、M为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点M的坐标；
（3）在直线BD上方的抛物线上是否存在一点P，使得△PBD的面积S_△PBD=

S_{四边形ABCD}？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）根据旋转的性质和等边三角形的性质求出AD∥x轴，然后写出点D的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）根据二次函数的对称性，AD与对称轴垂直，所以交点即为所求的点M；点D为直角顶点时，利用相似三角形对应边成比例求出CM，然后写出点M的坐标即可；
（3）利用待定系数法求一次函数解析式求出直线BD的解析式，设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，表示出PQ，再利用三角形的面积公式和平行四边形的面积公式列出方程，求出x值，然后利用抛物线解析式求解即可．

解答：解：（1）∵等边△ABC绕着点C顺时针旋转60°的得到△DEF，（旋转后D与A、E与B、F与C对应），
∴∠CAD=∠ACB=60°，
∴AD∥x轴，
∵B（-1，0）、C（1，0），
∴BC=2，AO=

×2=

，
∴点A的坐标为（0，

），点D的坐标为（2，

），
设经过A、B、D三点的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则

a-b+c=0

4a+2b+c=

，
解得

a=-

，
所以，抛物线解析式为y=-

x²+

；

（2）∵AD∥x轴，
∴点M为AD与对称轴的交点时∠CMD=90°，
此时，M₁（1，

），
若点D为直角顶点，则△CDM₁∽△CM₂D，
∴

CM1

CM2

，
即

CM2

，
解得CM₂=

，
此时，点M₂（1，

），
综上所述，M₁（1，

），M₂（1，

）时，以点C、D、M为顶点的三角形是直角三角形；

（3）设直线BD的解析式为y=kx+b，

则

-k+b=0

2k+b=

，
解得

，
所以，y=

，
设过点P与y轴平行的直线与直线BD相交于点Q，
则PQ=（-

x²+

）-（

）=-

x²+

，
∵S_△PBD=

S_{四边形ABCD}，
∴

×（-

x²+

）×（2+1）=

×2×

，
整理得，x²-x-1=0，
解得x₁=

，x₂=

，
所以，y₁=

，y₂=

，
所以，点P的坐标为（

，

）或（

，

）．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了旋转的性质，等边三角形的性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，直角三角形的性质，难点在于（2）要分情况讨论，（3）表示出△PBD的面积．

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