Question

17．如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，CF⊥AB于F，D是AB上一点，AD=AH，DE∥BC，求证：DE=CF．

Answer 1

分析 利用已知条件易证△ABH∽△CBF，由相似三角形的性质可得：AH：AB=CF：BC，因为AD=AH，所以AD：AB=CF：BC，再由DE∥BC，可得AD：AB=DE：BC，所以DE：BC=CF：BC，进而可证明：DE=CF．

解答 证明：∵AH⊥BC，CF⊥AB，
∴∠AHB=∠CFB=90°，
∵∠ABH=∠CBF，
∴△ABH∽△CBF，
∴AH：AB=CF：BC，
∵AD=AH，
∴AD：AB=CF：BC，
∵DE∥BC，
∴AD：AB=DE：BC，
∴DE：BC=CF：BC，
∴DE=CF．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理的运用，解题的关键是利用相似和平行线分线段成比例定理分别得到AH：AB=CF：BC和AD：AB=DE：BC，由比例的性质即可得到DE=CF．