Question

19．如图，在⊙O中，弦AB垂直于直径CD，垂足为E，连接OB、AD，∠ADC=30°，弦AB=2$\sqrt{3}$．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求CE的长．

Answer 1

分析 （1）先根据垂径定理得出$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，再由∠ADC=30°求出∠BOC的度数即可；
（2）在Rt△OBE中，根据BE=$\sqrt{3}$，∠BOC=60°可得出OB及OE的长，进而可得出CE的长．

解答 解：（1）∵弦AB垂直于直径CD，∠ADC=30°，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠BOC=2∠ADC=60°；

（2）∵AB⊥CD，AB=2$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{3}$．
∵由（1）知，∠BOC=60°，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，OE=$\frac{BE}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$=1，
∴CE=2-1=1．

点评 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．