Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAC=45°，BF⊥AC交AD，求证：CF=EF．

Answer 1

分析 根据垂直定义和三角形的内角和定理求出∠ABF=∠BAF=45°，根据等腰三角形性质得出BF=AF，求出∠CBF=∠EAF，∠BFC=∠AFE=90°，根据AAS推出△EAF≌△CBF即可．

解答 证明：∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠ABF=∠BAF=45°，
∴BF=AF，
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠BDF=∠BFA=90°，
∴∠FAE+∠AEF=90°，∠CBF+∠BED=90°，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠CBF=∠EAF，
∵BF⊥AC，
∴∠BFC=∠AFE=90°，
在△EAF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFE=∠BFC}\\{∠EAF=∠CBF}\\{AF=BF}\end{array}\right.$，
∴△EAF≌△CBF（AAS），
∴EF=CF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，垂直定义的应用，解此题的关键是推出△EAF≌△CBF，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等，对应角相等．