Question

19．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM．
（1）求证：∠ACM=∠ABC；
（2）延长BC到D，使CD=BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为2，ED=1，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，由∠ABC+∠BAC=90°及CM是⊙O的切线得出∠ACM+∠ACO=90°，再利用∠BAC=∠ACO，得出结论，
（2）连接OC，得出△AEC是直角三角形，△AEC的外接圆的直径是AC，利用△ABC∽△CDE，求出AC．

解答 （1）证明：连接OC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
∵CM是⊙O的切线，
∴OC⊥CM．
∴∠ACM+∠ACO=90°．
∵CO=AO，
∴∠BAC=∠ACO．
∴∠ACM=∠ABC．
（2）解：∵BC=CD，OB=OA，
∴OC∥AD．
又∵OC⊥CE，
∴CE⊥AD，
∵∠ACD=∠ACB=90°，
∴∠AEC=∠ACD．
∴△ADC∽△ACE．
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AC}{AE}$．
∵⊙O的半径为2，
∴AD=4．
∴$\frac{4}{AC}=\frac{AC}{3}$．
∴AC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．解题的关键是找准角的关系．