Question

3．如图，已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于两点，且点A的横坐标为2，
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为4，求△AOC的面积；
（3）过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P，Q两点，若由点A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为6，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）先把A点的横坐标代入一次函数中可确定A点坐标，然后把A点坐标代入反比例函数解析式中可计算出k的值；
（2）根据S_△AOC=S_△CON+S_梯形AMNC-S_△AOM=S_梯形AMNC即可求得．
（3）由题意可知A，B两点关于原点对称，从而得到点B的坐标，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得S_△APB=3，根据两点间的距离公式可得AB的长度，进而得到点P到直线AB的距离，设出点P的坐标根据点到直线的距离公式即可求得点P的坐标．

解答 解：（1）把x=2代入y=$\frac{1}{2}$x得y=$\frac{1}{2}$×2=1，
所以A点坐标为（2，1），把A（2，1）代入y=$\frac{k}{x}$得1=$\frac{k}{2}$，
解得k=2；
（2）如图1，把y=4代入y=$\frac{2}{x}$得4=$\frac{2}{x}$，解得x=$\frac{1}{2}$，
作AM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，
∵S_△AOC=S_△CON+S_梯形AMNC-S_△AOM，S_△CON=S_△AOM=$\frac{1}{2}$|k|，
∴S_△AOC=S_梯形AMNC=$\frac{1}{2}$（4+1）（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{15}{4}$；

（3）如图2，∵A（2，1），反比例函数的图象关于原点对称，
∴点A，B，P，Q为顶点组成的四边形为平行四边形，点B的坐标为（-2，-1），
过A作y轴的平行线，过B作x轴的平行线，两线交于D，
AD=2，BD=4，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∵四边形APBQ面积是6，
∴S_△APB=3，
∴P到AB距离=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∵P在双曲线上，
设P（x，$\frac{2}{x}$），
根据点到直线距离公式，d=$\frac{|x-\frac{4}{x}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴x=4或者x=-1（舍去）或者x=-4（舍去）或者x=1；
所以P（4，$\frac{1}{2}$）或者P（1，2）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与正比例函数的交点关于原点对称；反比例函数的比例系数等于在它上面的点的横纵坐标的积，三角形面积公式以及点到直线的距离公式等知识点．