Question

如图，在平面直角坐标系内，函数y=

m

x

（x＞0，m是常数）的图象经过点A（1，4），B（a，b），过点B作y轴的垂线，垂足为D，连结AB，AD．
（1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标．
（2）过点A作x轴的垂线，垂足为C，连结CB，CD；当DC∥AB，AD=BC时，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）先把A点坐标代入y=

k

x

求出k，可确定反比例函数解析式为y=

4

x

，则ab=4，再根据三角形面积公式得到

1

2

•a•（4-b）=4，即2a-

1

2

ab=4，然后把ab=4代入可解出a=3，则b=

4

3

，这样可写出B点坐标；
（2）由AC⊥BD，AC=4可得到S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD=2BD，再分类讨论：当AD∥BC，可判断四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质得BD=2DE=2，
所以S_{四边形ABCD}=2BD=4；当AD与BC不平行，可判断四边形ABCD为等腰梯形，根据等腰梯形的性质得BD=AC=4，则S_{四边形ABCD}=2BD=8．

解答：解：（1）把A（1，4）代入y=

k

x

得k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为y=

4

x

，
把B（a，b）代入y=

4

x

得ab=4，
∵

1

2

•a•（4-b）=4，即2a-

1

2

ab=4，
∴2a-2=4，解得a=3，
∴b=

4

3

，
∴B点坐标为（3，

4

3

）；

（2）∵AC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴AC⊥BD，
而AC=4，
∴S_{四边形ABCD}=

1

2

AC•BD=2BD，
当AD∥BC，AC与BD相交于E，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴BD=2DE，
∴BD=2，
∴S_{四边形ABCD}=2BD=4；
当AD与BC不平行，
∵DC∥AB，AD=BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD=AC=4，
∴S_{四边形ABCD}=2BD=8，
即四边形ABCD的面积为4或8．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式；熟练运用菱形和等腰梯形的判定与性质．