【题目】如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,(点E不与C、D重合)且CD=nDE, F为AD上一动点,且AE⊥FG于点H.
(1)如图1,求证:AE=FG;
(2)延长FG、AB相交于点P,且AH=EH;
①n=3,求证:FH+PG=HG;
②若G是PH的中点,直接写出n的值.
【答案】(1)证明见解析;
(2)①证明见解析;②或.
【解析】
(1)如图1中,作GK⊥AD于K.证明△ADE≌△GKF(ASA)即可解决问题.
(2)①如图2中,设FH=a.由tan∠DAE=tan∠P,推出,可得AH=EH=3a,PH=9a,求出HG,PG即可证明.
②如图2中,设AH=EH=x,FH=y,GH=PG=m.构建方程组,求出x,y(用m表示),即可解决问题.
(1)证明:如图1中,作GK⊥AD于K.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠DAB=∠B=∠GKA=90°,
∴四边形ABGK是矩形,
∴AB=GK=AD,
∵FG⊥AE,
∴∠AHF=90°,
∵∠DAE+∠AFH=90°,∠AFH+∠FGK=90°,
∴∠DAE=∠KGF,
∵∠D=∠GKF=90°,
∴△ADE≌△GKF(ASA),
∴AE=FG.
(2)①证明:如图2中,设FH=a.
∵CD=nDE,n=3,
∴CD=3DE,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠D=∠DAB=90°,CD=AD,
∵∠AHF=90°,
∴∠DAE+∠PAH=90°,∠PAH+∠P=90°,
∴∠DAE=∠P,
∴tan∠DAE=tan∠P,
∴,
∴AH=EH=3a,PH=9a,
∵AE=FG=6a,
∴HG=5a,PG=4a,
∴FH+PG=5a,
∴FH+PG=HG.
②如图2中,设AH=EH=x,FH=y,GH=PG=m.
∵AE=FG,
∴2x=y+m,
∵△AHF∽△PHA,
∴AH2=FHPH,
∴x2=y2m,
∴x2﹣4xm+2m2=0,
解得或,
∴或,
∴
∴或.
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【题目】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.以AB为斜边作等腰直角三角形ADB.点P是直线DB上一个动点,连接AP,作PE⊥AP交BC所在的直线于点E.
(1)如图1,点P在BD的延长线上,PE⊥EC,AD=1,直接写出PE的长;
(2)点P在线段BD上(不与B,D重合),依题意,将图2补全,求证:PA=PE;
(3)点P在DB的延长线上,依题意,将图3补全,并判断PA=PE是否仍然成立.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标;
(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴上一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数m的取值范围.
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【题目】如图,二次函数的图象交轴于、两点,交轴于点,点的坐标为,顶点的坐标为.
(1)求二次函数的表达式和直线的表达式;
(2)点是直线上的一个动点,过点作轴的垂线,交抛物线于点,当点在第一象限时,求线段长度的最大值;
(3)在抛物线上存在异于、的点,使中边上的高为,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图,在下列8×8的网格中,横、纵坐标均为整点的数叫做格点,△ABC的顶点的坐标分别为A(3,0)、B(0,4)、C(4,2).
(1)直接写出△ABC的形状;
(2)要求在下图中仅用无刻度的直尺作图:将△ABC绕点B逆时针旋转角度2α得到△A1BC1,其中α=∠ABC,A、C的对应点分别为A1、C1,请你完成作图;
(3)在网格中找一个格点G,使得C1G⊥AB,并直接写出G点的坐标.
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【题目】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象,已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.
(1)求小明骑车的速度为 km/h.在甲地游玩的时间为 h.;
(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?
(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.
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【题目】如图,已知△BAC为圆O内接三角形,AB=AC,D为⊙O上一点,连接CD、BD,BD与AC交于点E,且BC2=ACCE
①求证:∠CDB=∠CBD;
②若∠D=30°,且⊙O的半径为3+,I为△BCD内心,求OI的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点.
(1)试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标;
(2)将抛物线沿直线翻折,得到的新抛物线与轴交于点.若,,求的值;
(3)已知,,在(2)的条件下,当线段与抛物线只有一个公共点时,直接写出的取值范围.
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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m,给出如下定义:若存在一点P,使得点P到直线m的距离等于1,则称P为直线m的平行点.
(1)当直线m的表达式为y=x时,
①在点,,中,直线m的平行点是______;
②⊙O的半径为,点Q在⊙O上,若点Q为直线m的平行点,求点Q的坐标.
(2)点A的坐标为(n,0),⊙A半径等于1,若⊙A上存在直线的平行点,直接写出n的取值范围.
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