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【题目】如图,在正方形ABCD中,ECD上一动点,(点E不与CD重合)且CDnDE FAD上一动点,且AEFG于点H

1)如图1,求证:AEFG

2)延长FGAB相交于点P,且AHEH

n3,求证:FH+PGHG

②若GPH的中点,直接写出n的值.

【答案】1)证明见解析;

2)①证明见解析;②

【解析】

1)如图1中,作GKADK.证明△ADE≌△GKFASA)即可解决问题.
2)①如图2中,设FH=a.由tanDAE=tanP,推出,可得AH=EH=3aPH=9a,求出HGPG即可证明.
②如图2中,设AH=EH=xFH=yGH=PG=m.构建方程组,求出xy(用m表示),即可解决问题.

1)证明:如图1中,作GKADK

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠DAB=∠B=∠GKA90°

∴四边形ABGK是矩形,

ABGKAD

FGAE

∴∠AHF90°

∵∠DAE+AFH90°,∠AFH+FGK90°

∴∠DAE=∠KGF

∵∠D=∠GKF90°

∴△ADE≌△GKFASA),

AEFG

2)①证明:如图2中,设FHa

CDnDEn3

CD3DE

∵四边形ABCD是正方形,

∴∠D=∠DAB90°CDAD

∵∠AHF90°

∴∠DAE+PAH90°,∠PAH+P90°

∴∠DAE=∠P

tanDAEtanP

AHEH3aPH9a

AEFG6a

HG5aPG4a

FH+PG5a

FH+PGHG

②如图2中,设AHEHxFHyGHPGm

AEFG

2xy+m

∵△AHF∽△PHA

AH2FHPH

x2y2m

x24xm+2m20

解得

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【题目】在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°.以AB为斜边作等腰直角三角形ADB.点P是直线DB上一个动点,连接AP,作PEAPBC所在的直线于点E

1)如图1,点PBD的延长线上,PEECAD=1,直接写出PE的长;

2)点P在线段BD上(不与BD重合),依题意,将图2补全,求证:PA=PE

3)点PDB的延长线上,依题意,将图3补全,并判断PA=PE是否仍然成立.

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【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点ABC,已知A(﹣10),C03).

1)求抛物线的表达式;

2)如图1P为线段BC上一点,过点Py轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标;

3)如图2,抛物线顶点为EEFx轴于F点,N是线段EF上一动点,Mm0)是x轴上一动点,若∠MNC90°,直接写出实数m的取值范围.

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【题目】如图,二次函数的图象交轴于两点,交轴于点,点的坐标为,顶点的坐标为.

1)求二次函数的表达式和直线的表达式;

2)点是直线上的一个动点,过点轴的垂线,交抛物线于点,当点在第一象限时,求线段长度的最大值;

3)在抛物线上存在异于的点,使边上的高为,请直接写出点的坐标.

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【题目】如图,在下列8×8的网格中,横、纵坐标均为整点的数叫做格点,△ABC的顶点的坐标分别为A30)、B04)、C42).

1)直接写出△ABC的形状;

2)要求在下图中仅用无刻度的直尺作图:将△ABC绕点B逆时针旋转角度到△A1BC1,其中α=∠ABCAC的对应点分别为A1C1,请你完成作图;

3)在网格中找一个格点G,使得C1GAB,并直接写出G点的坐标.

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【题目】周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游.从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地,小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y(km)与小明离家时间x(h)的函数图象,已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍.

1)求小明骑车的速度为 km/h.在甲地游玩的时间为 h.

2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上?此时离家多远?

3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.

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【题目】如图,已知△BAC为圆O内接三角形,ABACD⊙O上一点,连接CDBDBDAC交于点E,且BC2ACCE

求证:∠CDB=∠CBD

若∠D30°,且⊙O的半径为3+I为△BCD内心,求OI的长.

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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线轴交于点

1)试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标;

2)将抛物线沿直线翻折,得到的新抛物线与轴交于点.若,求的值;

3)已知,在(2)的条件下,当线段与抛物线只有一个公共点时,直接写出的取值范围.

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【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m,给出如下定义:若存在一点P,使得点P到直线m的距离等于1,则称P为直线m的平行点.

1)当直线m的表达式为yx时,

①在点中,直线m的平行点是______

②⊙O的半径为,点Q在⊙O上,若点Q为直线m的平行点,求点Q的坐标.

2)点A的坐标为(n0),⊙A半径等于1,若⊙A上存在直线的平行点,直接写出n的取值范围.

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