Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M（m，0）是x轴上一动点，若∠MNC＝90°，直接写出实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；

（3）m的取值范围为：﹣≤m≤5．

【解析】

（1）由y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得点B的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），即可求得PD的长，由S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m＝（n﹣）2﹣，然后根据n的取值得到最小值．

解：（1）由题意得：，

解得：，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；

（2）令﹣x2+2x+3＝0，

∴x1＝﹣1，x2＝3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y＝kx+b′，

∴，

解得：，

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，

设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），

∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，

∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB

＝PDa+PD（3﹣a）

＝PD3

＝（﹣a2+3a）

＝﹣（a﹣）2+，

∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；

（3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，

∴E（1，4），

设N（1，n），则0≤n≤4，

取CM的中点Q（，），

∵∠MNC＝90°，

∴NQ＝CM，

∴4NQ2＝CM2，

∵NQ2＝（1﹣）2+（n﹣）2，

∴4[（1﹣）2+（n﹣）2]＝m2+9，

整理得，m＝n2﹣3n+1，即m＝（n﹣）2﹣，

∵0≤n≤4，

当n＝上，M最小值＝﹣，n＝4时，M最小值＝5，

综上，m的取值范围为：﹣≤m≤5．