【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和直线m,给出如下定义:若存在一点P,使得点P到直线m的距离等于1,则称P为直线m的平行点.
(1)当直线m的表达式为y=x时,
①在点,,中,直线m的平行点是______;
②⊙O的半径为,点Q在⊙O上,若点Q为直线m的平行点,求点Q的坐标.
(2)点A的坐标为(n,0),⊙A半径等于1,若⊙A上存在直线的平行点,直接写出n的取值范围.
【答案】(1)①,;②,,,;(2).
【解析】
(1)①根据平行点的定义即可判断;
②分两种情形:如图1,当点B在原点上方时,作OH⊥AB于点H,可知OH=1.如图2,当点B在原点下方时,同法可求;
(2)如图,直线OE的解析式为,设直线BC//OE交x轴于C,作CD⊥OE于D. 设⊙A与直线BC相切于点F,想办法求出点A的坐标,再根据对称性求出左侧点A的坐标即可解决问题;
解:(1)①因为P2、P3到直线y=x的距离为1,
所以根据平行点的定义可知,直线m的平行点是,,
故答案为,.
②解:由题意可知,直线m的所有平行点组成平行于直线m,且到直线m的距离为1的直线.
设该直线与x轴交于点A,与y轴交于点B.
如图1,当点B在原点上方时,作OH⊥AB于点H,可知OH=1.
由直线m的表达式为y=x,可知∠OAB=∠OBA=45°.
所以.
直线AB与⊙O的交点即为满足条件的点Q.
连接,作轴于点N,可知.
在中,可求.
所以.
在中,可求.
所以.
所以点的坐标为.
同理可求点的坐标为.
如图2,当点B在原点下方时,可求点的坐标为点的坐标为,
综上所述,点Q的坐标为,,,.
(2)如图,直线OE的解析式为,设直线BC∥OE交x轴于C,作CD⊥OE于D.
当CD=1时,在Rt△COD中,∠COD=60°,
∴,
设⊙A与直线BC相切于点F,
在Rt△ACE中,同法可得,
∴,
∴,
根据对称性可知,当⊙A在y轴左侧时,,
观察图象可知满足条件的N的值为:.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,E为CD上一动点,(点E不与C、D重合)且CD=nDE, F为AD上一动点,且AE⊥FG于点H.
(1)如图1,求证:AE=FG;
(2)延长FG、AB相交于点P,且AH=EH;
①n=3,求证:FH+PG=HG;
②若G是PH的中点,直接写出n的值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BE是弦,点D是弦BE上一点,连接OD并延长交⊙O于点C,连接BC,过点D作FD⊥OC交⊙O的切线EF于点F.
(1)求证:∠CBE=∠F;
(2)若⊙O的半径是2,点D是OC中点,∠CBE=15°,求线段EF的长.
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【题目】如图,已知四边形ABCD,AD∥BC,对角线AC、BD交于点O,DO=BO,过点C作CE⊥AC,交BD的延长线于点E,交AD的延长线于点F,且满足∠DCE=∠ACB.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)求证:.
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【题目】“绿水青山就是金山银山”,北京市民积极参与义务植树活动.小武同学为了了解自己小区300户家庭在2018年4月份义务植树的数量,进行了抽样调查,随即抽取了其中30户家庭,收集的数据如下(单位:棵):
1 1 2 3 2 3 2 3 3 4 3 3 4 3 3
5 3 4 3 4 4 5 4 5 3 4 3 4 5 6
(1)对以上数据进行整理、描述和
①绘制如下的统计图,请补充完整;
②这30户家庭2018年4月份义务植树数量的平均数是______,众数是______;
(2)“互联网+全民义务植树”是新时代首都全民义务植树组织形式和尽责方式的一大创新,2018年首次推出义务植树网上预约服务,小武同学所调查的这30户家庭中有7户家庭采用了网上预约义务植树这种方式,由此可以估计该小区采用这种形式的家庭有______户.
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【题目】抛物线经过点E(5,5),其顶点为C点.
(1)求抛物线的解析式,并直接写出C点坐标.
(2)将直线沿y轴向上平移b个单位长度交抛物线于A、B两点.若∠ACB=90°,求b的值.
(3)是否存在点D(1,a),使抛物线上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离?若存在,请求点D的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】数学课上,老师提出如下问题:已知点A,B,C是不在同一直线上三点,求作一条过点C的直线l,使得点A,B到直线l的距离相等.
小明的作法如下:
①连接AB;
②分别以A,B为圆心,以大于AB为半径画弧,两弧交于M、N两点;
③作直线MN,交线段AB于点O;
④作直线CO,则CO就是所求作的直线l.
老师肯定了小明的作法,根据上面的作法回答下列问题:
(1)小明利用尺规作图作出的直线MN是线段AB的 ;点O是线段AB的 ;
(2)要证明点A,点B到直线l的距离相等,需要在图中画出必要的线段,请在图中作出辅助线,并说明线段 的长是点A到直线l的距离,线段 的长是点B到直线l的距离;
(3)证明点A,B到直线l的距离相等.
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【题目】4月18日,一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行,如图,广场上有一风筝A,小江抓着风筝线的一端站在D处,他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°,同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°,已知小江与居民楼的距离CD=40米,牵引端距地面高度DE=1.5米,根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米,参考数据:sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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【题目】北京市环境保护监测中心每月向公众公布北京市各区域的空气质量状况.2019年1月份各区域的浓度情况如表:
各区域1月份浓度(单位:微粒/立方米)表
区域 | 浓度 | 区域 | 浓度 | 区域 | 浓度 |
怀柔 | 33 | 海淀 | 50 | 平谷 | 45 |
密云 | 34 | 延庆 | 51 | 丰台 | 61 |
门头沟 | 41 | 西城 | 61 | 大兴 | 72 |
顺义 | 41 | 东城 | 60 | 开发区 | 65 |
昌平 | 38 | 石景山 | 55 | 房山 | 62 |
朝阳 | 54 | 通州 | 57 |
从上述表格随机选择一个区域,其2019年1月份的浓度小于51微克/立方米的概率是______.
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