Question

【题目】抛物线经过点E（5，5），其顶点为C点．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出C点坐标．

（2）将直线沿y轴向上平移b个单位长度交抛物线于A、B两点．若∠ACB=90°，求b的值．

（3）是否存在点D（1，a），使抛物线上任意一点P到x轴的距离等于P点到点D的距离？若存在，请求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=，顶点（1，1）（2）（3）（1，2）

【解析】

（1）将点E坐标代入解析式，求出系数a，获得解析式，并求出顶点C坐标；

（2）平移直线y=，获得平移后的解析式y=，直线与抛物线交于两点A、B，设A（x1，y1）、B（x2，y2），因为∠ACB=90°，利用A、B、C三点构造相似，得到，将直线与抛物线联立获得方程，根据韦达定理，获得x1+x2，x1x2，从而获得关于b的方程，求出b值；

（3）过点P作PQ⊥x轴，设点P（m，）因为PQ=PD，所以PQ2=PD2，整理可得，所以当a=2时，存在点D（1，2）．

（1）将点E（5，5）代入y=ax2-+

5=25a-+

a=

∴y=，顶点（1，1）

（2）直线y=平移后获得解析式y=

交抛物线于A（x1，y1）、B（x2，y2）

y1=，y2=

联立

x2-4x+5-4b=0

∴x1+x2=4，x1x2=5-4b

如图，过点A、B作y轴的平行线与过点C平行于x轴的线交于点E，F

可证△ACE∽△BCF

∴=

∴（x1+x2）-（x1x2）-1=y1y2-（y1+y2）+1

∴b2-5b+=0，

解，b1=，b2=（舍）

∴b=．

（3）设P（m，n），作PQ⊥x轴于Q

若PQ=PD，则PQ2=PD2

（m-1）2+（n-a）2=n2

整理得

m2-2m+1+a2-2an=0

将n=代入

整理得

当a=2时，方程成立

∴D（1，2）