Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，-3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式；
（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交y轴于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．
①当线段PQ=

3

4

AB时，求CE的长；
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用对称轴公式即可得出b的值，再利用抛物线与y轴交于点C（0，-3），求出抛物线解析式即可；
（2）由抛物线解析式得到B、C点坐标，即可得到直线BC的函数表达式；
（3）①由抛物线的对称性可得PM=

3

2

，可得P点坐标，进而得出F点坐标以及FC的长度，根据垂直平分的性质即可得出CE的长度；
②当∠CDE=90°时，则CE为斜边，则DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），求出a的值，进而得出P点坐标；当CD为斜边时，DE⊥CE，可得到P和F的纵坐标为-

5

2

，代入抛物线解析式，可得P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴-

b

2a

=-

b

2×1

=1．
∴b=-2．
∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），
∴c=-3．
∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3；

（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，
当y=0时，x²-2x-3=0．
∴x₁=-1，x₂=3．
∵A点在B点左侧，
∴A（-1，0），B（3，0）．
设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，
则

0=3k+m -3=m

，
∴

k=1 m=-3

，
∴直线BC的函数表达式为：y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=

3

4

AB，
∴PQ=3．
∵PQ⊥y轴，
∴PQ∥x轴．
则由抛物线的对称性可得PM=

3

2

，
∵对称轴是直线x=1，
∴P到y轴的距离是

1

2

．
∴点P的横坐标为-

1

2

．
∴P（-

1

2

，-

7

4

）．
∴F（0，-

7

4

）．
∴FC=3-OF=3-

7

4

=

5

4

．
∵PQ垂直平分CE于点F，
∴CE=2FC=

5

2

．

②P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
设OE=a，则GE=2-a，
∵当CE为斜边时，
∴DG²=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），
∴1=1×（2-a）．
∴a=1．
∴CE=2．
∴OF=OE+EF=2．
∴F、P的纵坐标为-2．
把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3得：x=1+

2

或1-

2

∵点P在第三象限，
∴P₁（1-

2

，-2）．
∵当CD为斜边时，DE⊥CE，
∴OE=2，CE=1．
∴OF=2.5．
∴P和F的纵坐标为：-

5

2

．
把y=-

5

2

，代入抛物线的函数表达式为y=x²-2x-3得：x=1-

6

2

，或1+

6

2

，
∵点P在第三象限，
∴P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．
综上所述：满足条件为P₁（1-

2

，-2），P₂（1-

6

2

，-

5

2

）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合题型、涉及直角三角形的性质和待定系数法求一次函数解析式等知识，在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．