Question

已知如图1，在以O为原点的平面直角坐标系中，抛物线y=

1

4

x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），连接AC，AO=2CO，直线l过点G（0，t）且平行于x轴，t＜-1，
（1）求抛物线对应的二次函数的解析式；
（2）若D为抛物线y=

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4

x²+bx+c上一动点，是否存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等？若存在，求出此时t的值；
（3）如图2，若E、F为上述抛物线上的两个动点，且EF=8，线段EF的中点为M，求点M纵坐标的最小值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据点C坐标，可得c=-1，然后根据AO=2CO，可得出点A坐标，将点A坐标代入求出b值，即可得出函数解析式；
（2）假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等，设出点D坐标，分别求出OD和点D到直线l的距离，然后列出等式求出t的值；
（3）作EN⊥直线l于点G，FH⊥直线l于点H，设出点E、F坐标，表示出点M的纵坐标，根据（2）中得出的结果，代入结果求出M纵坐标的最小值．

解答：解：（1）∵c（0，-1），
∴y=

1

4

x²+bx-1，
又∵AO=2OC，
∴点A坐标为（-2，0），
代入得：1-2b-1=0，
解得：b=0，
∴解析式为：y=

1

4

x²-1；

（2）假设存在直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等，
设D（a，

1

4

a²-1），
则OD=

a2+( 1 4 a2-1)2

=

( 1 4 a2+1)2

=

1

4

a²+1，
点D到直线l的距离：

1

4

a²-1+|t|，
∴

1

4

a²-1+|t|=

1

4

a²+1，
解得：|t|=2，
∵t＜-1，
∴t=-2，
故当t=-2时，直线l使得点D到直线l的距离与OD的长恒相等；

（3）作EN⊥直线l于点N，FH⊥直线l于点H，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则EN=y₁+2，FH=y₂+2，
∵M为EF中点，
∴M纵坐标为：

y1+y2

2

=

(EN-2)+(FH-2)

2

=

EN+FH

2

-2，
由（2）得：EN=OE，FH=OF，
∴

y1+y2

2

=

EN+FH

2

-2=

OE+OF

2

-2，
要使M纵坐标最小，即

OE+OF

2

-2最小，
当EF过点O时，OE+OF最小，最小值为8，
∴M纵坐标最小值为

OE+OF

2

-2=

8

2

-2=2．

点评：本题考查了二次函数的综合知识，涉及到抛物线解析式的求法，点到直线的距离、两点间的距离等知识，涉及到的知识点比较多，难度比较大，是中考中的压轴题．特别是存在性问题更是近几年中考的高频考点．