Question

【题目】（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的60°角顶点D任意放在BC边上（点D不与点B、C重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.

①若AB=6，AE=4，BD=2，则CF =________；

②求证：△EBD∽△DCF.

（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点D在BC边上移动，保持三角板与边AB、AC的两个交点E、F都存在，连接EF，如图②所示.问点D是否存在某一位置，使ED平分∠BEF且FD平分∠CFE？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

（3）（探索）如图③，在等腰△ABC中，AB=AC，点O为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点O处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边AB、AC于点E、F（点E、F均不与△ABC的顶点重合），连接EF.设∠B=α，则△AEF与△ABC的周长之比为________（用含α的表达式表示）

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Answer 1

【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.

【解析】（1）①先求出BE的长度后发现BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE是等边三角形，可得∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF是等边三角形，从而CF=CD=BC-BD；

②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；

（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过D作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则DM=DG=DN，从而通过证明△BDM△CDN可得BD=CD；

（3）【探索】由已知不难求得C△ABC=AB+BC+CA=2AB+2OB=2(m+mcosα)，则需要用m和α的三角函数表示出C△AEF，C△AEF=AE+EF+AF；题中直接已知O是BC的中点，应用（2）题的方法和结论，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，可得EG=ED，FH=DF，则C△AEF=AE+EF+AF= AG+AH=2AG，而AG=AB-OB，从而可求得.

（1）①∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，

∵AE=4，

∴BE=2，则BE=BD，

∴△BDE是等边三角形，

∴∠BDE=60°，

又∵∠EDF=60°，

∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，

∴△CDF是等边三角形，

∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；

②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°

∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，

∴∠BED=∠CDF，

又∵∠B=∠C，

∴△EBD∽△DCF

（2）存在.如图，作DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为M，G，N，

∵ED平分∠BEF且FD平分∠CFE，

∴DM=DG=DN，

又∵∠B=∠C=60°，∠BMD=∠CND=90°，

∴△BDM△CDN，

∴BD=CD，

即点D是BC的中点，

∴;

（ 3 ）连结AO，作OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为G，D，H，

则∠BGO=∠CHO=90°，

∵AB=AC，O是BC的中点

∴∠B=∠C，OB=OC，

∴△OBG△OCH，

∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°α，

则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，

∵∠EOF=∠B=α，

则∠GOH=2∠EOF=2α，

由（2）题可猜想应用EF=ED+DF=EG+FH，

则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，

设AB=m，则OB=mcosα，GB=mcos2α,

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