Question

已知抛物线y=x²-2x-3经过A、B、C三点，点P（1，k）在直线BC：y=x-3上，若点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以点A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点M的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：利用抛物线解析式求出点A、B的坐标，再把点P的坐标代入直线求出k值，设点M的坐标为（a，0），根据平行四边形的对边平行且相等分点N在点M的右边和左边两种情况表示出点N的坐标，然后代入抛物线解析式求出a的值，即可得解．

解答：解：令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，A（-1，0），B（3，0），
∵点P（1，k）在y=x-3上，
∴k=1-3=-2，
∴点P（1，-2），
设点M的坐标为（a，0），若点N在点M的右边，则N（a+2，-2），
代入抛物线得，（a+2）²-2（a+2）-3=-2，
a₁=-1-

2

，a₂=-1+

2

，
此时，点M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），
若点N在点M的左边，则点N（a-2，2），
代入抛物线得，（a-2）²-2（a-2）-3=2，
a₁=3-

6

，a₂=3+

6

，
此时，点M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），
综上所述，存在点M₁（-1-

2

，0），M₂（-1+

2

，0），M₃（3-

6

，0），M₄（3-

6

，0），使以点A、M、N、P为顶点的四边形为平行四边形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与x轴的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，根据平行四边形的性质用点M的坐标表示出点N的坐标是解题的关键，难点在于分情况讨论．