Question

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线C₁：y=ax²-a²（a＞0）经过点B（1，0），顶点为A
（1）求抛物线C₁的解析式；
（2）如图2，先将抛物线 C₁向上平移使其顶点在原点O，再将其顶点沿直线y=x平移得到抛物线C₂，设抛物线C₂与直线y=x交于C、D两点，求线段CD的长；
（3）在图1中将抛物线C₁绕点B旋转180°后得到抛物线C₃，直线y=kx-2k+4总经过一定点M，若过定点M的直线l与抛物线C₃只有一个公共点，求直线l的解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点B（1，0）代入y=ax²-a²，可得出a的值，即可求出抛物线C₁的解析式；
（2）设抛物线C₂的顶点为（m，m），依题意可得抛物线C₂的解析式为：y=（x-m）²+m，与直线y=x联立，可得C，D的坐标，过点C作CM∥x轴，过点D作DM∥y轴，可求出CM=1，DM=1，即可得出CD的值．
（3）依题意可求出抛物线C3的解析式为：y=-（x-2）²+1，由直线y=kx-2k+4总经过一定点M，可求得定点M为（2，4），①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．②经过定点M（2，4）的直线l为一次函数y=kx-2k+4时，与y=-（x-2）²+1联立方程组，利用△=k²-12=0，可得得k₁，k₂的值，即可得出y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，综上所述，过定点M，共有三条直线它们分别与抛物线C₃只有一个公共点．

解答：解：（1）把点B（1，0）代入y=ax²-a²，得0=a-a²，解得a=0，或1，
∵a＞0，
∴a=1，
∴y=x²-1．
（2）设抛物线C₂的顶点为（m，m），依题意抛物线C₂的解析式为：y=（x-m）²+m，
与直线y=x联立

y=(x-m)2+m y=x

，
解方程组得：

x1=m y1=m

，

x2=m+1 y2=m+1

，
∴C（m，m），D（m+1，m+1）
过点C作CM∥x轴，过点D作DM∥y轴，

∴CM=1，DM=1，
∴CD=

2

．
（3）依题意可求出抛物线C3的解析式为：y=-（x-2）²+1，
∵直线y=kx-2k+4总经过一定点M，
∴定点M为（2，4），
①经过定点M（2，4），与y轴平行的直线l：x=2与抛物线C3总有一个公共点（2，1）．
②经过定点M（2，4）的直线l为一次函数y=kx-2k+4时，与y=-（x-2）²+1联立方程组，消去y得x²-4x+3+kx-2k+4=0，
即x²-（4-k）x+7-2k=0，△=k²-12=0，得k₁=2

3

，k₂=-2

3

，
∴y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，
综上所述，过定点M，共有三条直线l：x=2 或y=2

3

x+4-4

3

或y=-2

3

x+4+4

3

，它们分别与抛物线C₃只有一个公共点．

点评：本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．