Question

如图，开口向下顶点为D的抛物线经过点A（0，5），B（-1，0），C（5，0）与x轴交于B、C两点（B在C左侧），点A和点E关于抛物线对称轴对称．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过原点O和点E的直线与抛物线的另一个交点为F．
①求点F的坐标；
②求四边形ADEF的面积；
（3）若M为抛物线上一动点，N为抛物线对称轴上一动点，是否存在M，N，使得以A、E、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）可将抛物线的解析式设成交点式，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（2）①可先求出直线OE的解析式，然后将直线OE与抛物线的解析式联立，组成方程组，解这个方程组就可得到点F的坐标；
②只需运用割补法就可求出四边形ADEF的面积．
（3）可分AE是平行四边形的对角线和一边这两种情况讨论，然后利用平行四边形的性质就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

由于抛物线经过点B（-1，0），C（5，0），
因此该抛物线解析式可设为y=a（x+1）（x-5），
把A（0，5）代入y=a（x+1）（x-5），
得-5a=5，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5                        …2分

（2）①如图2，

∵抛物线的对称轴x=-

4

2×(-1)

=2，点A（0，5）和点E关于抛物线对称轴对称，
∴点E的坐标为（4，5），
∴直线OE的解析式为y=

5

4

x，
解方程组

y= 5 4 x y=-x2+4x+5

，
得

x=4 y=5

，或

x=- 5 4 y=- 25 16

，
∴点F坐标为（-

5

4

，-

25

16

）                                         
②∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴抛物线的顶点D的坐标为（2，9），
∴S_{四边形ADEF}=S_△ADE+S_△AEF
=

1

2

×4×（9-5）+

1

2

×4×（5+

25

16

）=

169

8

                             

（3）①若AE是平行四边形的对角线，如图3①，

则点M在对称轴上，即在顶点D处，
此时点M的坐标（2，9），点N的坐标为（2，1）；
②若AE是平行四边形的一边，如图3①，

则有MN=AE=4，
∴点M的横坐标为-2或6．
Ⅰ．当x=-2时，y=-（-2）²+4×（-2）+5=-7，
此时点M的坐标为（-2，-7），点N的坐标为（2，-7）；
Ⅱ．当x=6时，y=-6²+4×6+5=-7，
此时点M的坐标为（6，-7），点N的坐标为（2，-7）．
综上所述：符合要求的点M、N的坐标为
M₁（-2，-7），M₂（6，-7），M₃（2，9）
N₁（2，-7），N₂（2，-7），N₃（2，1）．                        
（注：没过程，写对点的坐标酌情扣1～2 分）

点评：本题考查了用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线的性质、平行四边形的性质等知识，运用割补法是解决第（2）②小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．