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    8．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=6AC．
    （1）求出点B的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）；
    （2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

    分析 （1）根据抛物线y=ax2-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），可以求得点A和点B的坐标，由经过点A的直线l：y=kx+b，可以得到k与b的关系，然后根据CD=6AC，可以求得k与a的关系，从而可以表示出直线l的函数表达式；
    （2）根据题意可以知道点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，然后分两种情况进行解答，先画出相应的图形，然后根据题意求出相应的点P的坐标，从而可以解答本题．

    解答 解：（1）∵抛物线y=ax2-4ax-5a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
    ∴0=ax2-4ax-5a=a（x-5）（x+1），得x1=-1，x2=5，
    ∴点A的坐标是（-1，0），点B的坐标是（5，0），
    ∵经过点A的直线l：y=kx+b，
    ∴k×（-1）+b=0，得k=b，
    ∴y=kx+k，
    又∵CD=6AC，点A的坐标是（-1，0），
    ∴点D的横坐标为6，
    ∴6k+k=a×62-4a×6-5a，
    解得，k=a，
    ∴直线l的函数表达式是y=ax+a，
    即点B的坐标是（5，0），直线l的函数表达式是y=ax+a；
    （2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形．
    当AD为矩形的一边时，如下图1所示：

    ∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
    解得，x1=-1，x2=6
    ∴点D的坐标为（6，7a），
    ∵抛物线y=ax2-4ax-5a的对称轴为直线x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是抛物线的对称轴上的一点，
    ∴设点P的坐标为（2，m），
    ∵点A的坐标为（-1，0），点Q在抛物线上，
    ∴点Q的坐标为（-5，40a），
    ∴m=7a+40a=47a，
    ∴点P的坐标为（2，47a），
    ∵AD⊥AQ，
    ∴AD2+AQ2=QD2，
    即[6-（-1）]2+（7a）2+[（-1）-（-5）]2+（40a）2=[6-（-5）]2+（7a-40a）2，
    解得，$a=±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
    ∵a＜0，
    ∴a=$-\frac{\sqrt{10}}{10}$，
    ∴点P的坐标为（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）；
    当AD为矩形的对角线时，如下图2所示，

    ∵$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}-4ax-5a}\\{y=ax+a}\end{array}\right.$
    解得x1=-1，x2=6
    ∴点D的坐标为（6，7a），
    ∵抛物线y=ax2-4ax-5a的对称轴为直线x=$-\frac{-4a}{2a}=2$，P是抛物线的对称轴上的一点，
    ∴设点P的坐标为（2，m），
    ∵点A的坐标为（-1，0），点Q在抛物线上，
    ∴点Q的坐标为（3，-8a），
    ∴m=7a-（-8a）=15a，
    ∴点P的坐标为（2，15a），
    ∵AQ⊥AP，
    ∴AQ2+AP2=QP2，
    即[3-（-1）]2+[（-8a）-0]2+[2-（-1）]2+（15a-0）2=（3-2）2+[（-8a）-15a]2，
    解得a=$±\frac{\sqrt{10}}{10}$，
    ∵a＜0，
    ∴a=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$，
    ∴点P的坐标为（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．
    由上可得，点P的坐标为（2，$-\frac{47\sqrt{10}}{10}$）或（2，$-\frac{3\sqrt{10}}{2}$）．

    点评 本题考查二次函数综合题、抛物线与x轴的交点，直线与抛物线的交点、勾股定理、抛物线的对称轴，解题的关键是明确题意，可以求出相应的一次函数的表达式，会用分类讨论的数学思想对问题进行解答，能够运用勾股定理的知识进行解答问题．

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