Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AC边上，以AD为直径作⊙O交BD的延长线于点E，CE＝BC．

（1）求证：CE是⊙O的切线；

（2）若CD＝2，BD＝2，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）3．

【解析】

（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠4，由∠1+∠5＝90°得到∠2+∠3＝90°，得∠OEC＝90°，于是得到结论；

（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，由OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．

解：（1）如图，连接OE，

∵∠ACB＝90°，

∴∠1+∠5＝90°．

∵CE＝BC，

∴∠1＝∠2．

∵OE＝OD，

∴∠3＝∠4．

又∵∠4＝∠5，

∴∠3＝∠5，

∴∠2+∠3＝90°，即∠OEC＝90°，

∴OE⊥CE．

∵OE是⊙O的半径，

∴CE是⊙O的切线．

（2）在Rt△BCD中，∠DCB＝90°，CD＝2，BD＝，

BC＝CE＝4．

设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，

在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，

∴OE2+CE2＝OC2，

∴r2+42＝（r+2）2，

解得r＝3，

∴⊙O的半径为3．