Question

已知抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，其对称轴交x轴于点H，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点C，与抛物线交于另一点D（点D在点C的左边），与抛物线的对称轴交于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，当S_△EOC=S_△EAB时，求一次函数的解析式；

（3）如图2，设∠CEH=α，∠EAH=β，当α＞β时，直接写出k的取值范围．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，

∵抛物线经过A（﹣3，0），B（1，0），C（2，）三点，

∴，

∴，

∴抛物线的解析式为y=x²+x﹣；

（2）如图1所示，

将C点坐标代入直线CD，得

2k+b=   ①．

当x=0时，y=b，即F（0，b），

当x=﹣1时，y=﹣k+b，即E（﹣1，﹣k+b）．

由S_△EOC=S_△EAB时，得×[2﹣（﹣1）]b=[1﹣（﹣3）]（﹣k+b）    ②．

联立方程①②，得

，

解得．

当S_△EOC=S_△EAB时，一次函数的解析式为y=x+，

（3）如图2所示，

设CD的解析式为y=kx+﹣2k，

当y=0时，kx+﹣2k=0，解得x=2﹣，F（2﹣，0）．

FH=3﹣．

当x=﹣1时，y=﹣3k，即E（﹣1，﹣3k）．AH=﹣1﹣（﹣3）=2．

当α＞β时，tanα＞tanβ，即＞，

＞．

整理得：36k³﹣60k²+k+20＞0

解得＜k＜．