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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CDABHG为⊙O上一点,连接AGCDK,在CD的延长线上取一点E,使EG=EKEG的延长线交AB的延长线于F

1)求证:EF是⊙O的切线;

2)连接DG,若ACEF时.

①求证:KGD∽△KEG

②若cosC=AK=,求BF的长.

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;.

【解析】

1)连接OG,由EG=EK知∠KGE=GKE=AKH,结合OA=OG知∠OGA=OAG,根据CDAB得∠AKH+OAG=90°,从而得出∠KGE+OGA=90°,据此即可得证;

2)①由ACEF知∠E=C=AGD,结合∠DKG=GKE即可证得KGD∽△KEG

②连接OG,由 CH=4kAC=5k,可得AH=3kCK=AC=5kHK=CK-CH=k.利用AH2+HK2=AK2k=1,即可知CH=4AC=5AH=3,再设⊙O半径为R,由OH2+CH2=OC2可求得 ,根据 ,从而得出答案.

解:(1)如图,连接OG

EG=EK

∴∠KGE=GKE=AKH

OA=OG

∴∠OGA=OAG

CDAB

∴∠AKH+OAG=90°

∴∠KGE+OGA=90°

EF是⊙O的切线.

2)①∵ACEF

∴∠E=C

又∠C=AGD

∴∠E=AGD

又∠DKG=GKE

∴△KGD∽△KEG

②连接OG

AK=

∴设CH=4kAC=5k,则AH=3k

KE=GEACEF

CK=AC=5k

HK=CK-CH=k

RtAHK中,根据勾股定理得AH2+HK2=AK2,即

解得k=1

CH=4AC=5,则AH=3

设⊙O半径为R,在RtOCH中,OC=ROH=R-3CH=4

由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,即(R-32+42=R2

RtOGF中,

故答案为:(1)详见解析;(2)①详见解析;②

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