Question

若0°＜α＜90°，关于x的方程x²-2xtanα-3=0的两根平方和为10，求∠α的大小．

Answer 1

考点：根与系数的关系,特殊角的三角函数值

专题：

分析：设方程的两根分别为m，n，根据根与系数的关系得m+n=2tanα，mn=-3，再利用完全平方公式变形m²+n²=10得到（m+n）²-2mn=10，则4tan²α+6=10，解得tanα=±1，然后根据0°＜α＜90°及根的判别式确定满足条件的∠α的值．

解答：解：设方程的两根分别为m，n，则m+n=2tanα，mn=-3，
∵m²+n²=10，
∴（m+n）²-2mn=10，
∴4tan²α+6=10，
解得tanα=±1，
∵0°＜α＜90°，
∴tanα=1，
当tanα=1时，原方程变形为x²-2x-3=0，△=4+12＞0，方程有两个不相等的实数解，
∴∠α=45°．

点评：本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了特殊角的三角函数值与根的判别式．