Question

求证：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边的对应比相等，那么这两个三角形相似．

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：证明题

分析：可设AB、A′B′，AC、A′C′的比为k，进而由勾股定理求出BC：B′C′的值，此时可得两三角形的三边都对应成比例，由此来得出两三角形相似的结论．

解答：证明：
在AC上截取AC″=A′C′，过C″作C″B″∥BC交AB于B″，
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

，
设

AB

A′B′

=

AC

A′C′

，=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′；
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，

BC

B′C′

=

AB2-AC2 A′B′2-A′C′2

=k，
∴

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

BC

B′C′

∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．

点评：此题考查的是相似三角形的判定以及全等三角形的判定和性质．能够正确的理解材料的含义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．