Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两点的⊙O交BC于点G,交AB于点F,FB恰为⊙O的直径.

（1）求证：AE与⊙O相切；

（2）当BC=4,cosC=时，求⊙O的半径.

Answer 1

解：(1) 连接OM，则OM＝OB

       ∴∠OBM=∠OMB

       ∵BM平分∠ABC

       ∴∠OBM=

       ∴∠OMB=∠EBM

       ∴OM∥BE

       ∴∠AMO=∠AEB

而在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线

       ∴AE⊥BC

       ∴∠AMO=∠AEB=90°

       ∴AE与⊙O相切.     ------------ 3分

(2) 在⊿ABC中，AB=AC,AE是角平分线

         ∴BE=BC=2,∠ABC=∠ACB

         ∴在Rt⊿ABC中cos∠ABC=cos∠ACB==

 ∴AB=6           --------------6分

       设⊙O的半径为r,则AO=6-r

       ∵OM∥BC

       ∴△AOM∽△ABE

       ∴= 

即 =

        ∴r=            --------------8分