Question

求所有的三元数组（m，n，p），使其满足pⁿ+144=m²，其中m，n是正整数，p是质数．

Answer 1

考点：质数与合数

专题：

分析：由pⁿ+144=m²，可得pⁿ=m²-144=（m+12）（m-12），根据p是质数，可设m-12=p^k，则m+12=p^n-k，得到p^n-k-p^k=24，p^k（p^n-2k-1）=3×2³，得到p^k=3，p^n-2k-1=2³或p^k=2³，p^n-2k-1=3，进一步得到关于m，n，p的方程求解即可．

解答：解：由pⁿ+144=m²，
pⁿ=m²-144=（m+12）（m-12），
∵p是质数，
∴设m-12=p^k，则m+12=p^n-k，
∴p^n-k-p^k=24，
∴p^k（p^n-2k-1）=3×2³，
∴p^k=3，p^n-2k-1=2³，
解得p=3，k=1，n=4，
∴m=p^k+12=15，
或p^k=2³，p^n-2k-1=3，
解得p=2，k=3，n=8，
∴m=p^k+12=20，
∴所有三元数组为（15，4，3）或（20，2，8）．

点评：考查了质数与合数，此题难度比较大，要认真分析题意读懂题意，理解质数的概念．