[题目]如图.⊙O是△ABC的外接圆.AB为直径.OD∥BC交⊙O于点D.交AC于点E.连接AD.BD.CD．(1)求证:E为AC中点,(2)求证:AD=CD,(3)若AB=10.cos∠ABC=.求tan∠DBC的值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD，BD，CD．

（1）求证：E为AC中点；

（2）求证：AD=CD；

（3）若AB=10，cos∠ABC=，求tan∠DBC的值．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） .

【解析】试题分析：根据中位线的推论即可证明.

由AB为直径，OD∥BC，易得，然后由垂径定理证得， ,继而证得结论；

由可求得的长，继而求得的长，则可求得然后由圆周角定理，证得则可求得答案．

试题解析：

（1）证明：∵OD∥BC，

即E为AC中点；

（2）∵AB为直径，

∵OD∥BC，

∴

（3）

由勾股定理得，

则

由勾股定理得，

∵,

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【题目】如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．

（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；

（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．

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【题目】在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．

（1）将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（如图①），设DE与BC相交于点F，求BF的长；

（2）将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图②），求折痕GH的长．

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【题目】骑共享单车已成为人们喜爱的一种绿色出行方式．已知A、B、C三家公司的共享单车都是按骑车时间收费，标准如下：

公司	单价（元/半小时）	充值优惠
A	m	充20元送5元，即：充20元实得25元
B	m－0.2	无
C	1	充20元送20元，即：充20元实得40元

（注：使用这三家公司的共享单车，不足半小时均按半小时计费．用户的账户余额长期有效，但不可提现．）

4月初，李明注册成了A公司的用户，张红注册成了B公司的用户，并且两人在各自账户上分别充值20元．一个月下来，李明、张红两人使用单车的次数恰好相同，且每次都在半小时以内，结果到月底李明、张红的账户余额分别显示为5元、8元．

（1）求m的值；

（2）5月份，C公司在原标准的基础上又推出新优惠：每月的月初给用户送出5张免费使用券（1

次用车只能使用1张券）．如果王磊每月使用单车的次数相同，且在30次以内，每次用车都不超过

半小时. 若要在这三家公司中选择一家并充值20元，仅从资费角度考虑，请你帮他作出选择，并说

明理由．

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【题目】如图，是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识作出一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：

甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．

乙：分别作与的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形.

对于甲、乙两人的作法，可判断( )

A.甲正确，乙错误B.甲错误，乙正确

C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误

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【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：

（1）求证：△BEF∽△DCB；

（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；

（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；

（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．