Question

【题目】如图，已知正方形的边长为，点是边上的一个动点，连接，过点作的垂线交于点，以为边作正方形，顶点在线段上，对角线、相交于点.（1）若，则 ；

（2）①求证：点一定在的外接圆上；

②当点从点运动到点时，点也随之运动，求点经过的路径长；

（3）在点从点到点的运动过程中，的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到边的距离的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②2；（3） .

【解析】（1）根据正方形的性质得到∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，然后根据垂直的性质和直角三角形的两锐角互余的性质得到∠AEP=∠BPC，再根据两角对应相等的两三角形相似证得△APE∽△BCP，最后根据相似三角形的对应边成比例求解即可；

（2）①证明A、P、O、E四点共圆，即可得出结论；

②连接OA、AC，由勾股定理得到AC的长，由圆周角定理得出∠OAP=∠OEP=45°，点O在AC上，当点P运动到点B时，O为AC 的中点，即可求解；

（3）设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，由三角形中位线定理得到MN=AE，设AP=x，则BP=4-x，由（1）中的相似三角形的性质：对应边成比例，求出AE= x-x2=-（x-2）2+1，由二次函数的最值求出AE的最大值为1，然后可求MN的值.

（1）解：∵四边形ABCD、四边形PEFG是正方形，

∴∠A=∠B=∠EPG=90°，PF⊥EG，AB=BC=4，∠OEP=45°，

∴∠AEP+∠APE=90°，∠BPC+∠APE=90°，

∴∠AEP=∠BPC，

∴△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=；

（2）①证明：∵PF⊥EG，

∴∠EOP=90°，

∴∠EOP+∠A=180°，

∴A、P、O、E四点共圆，

∴点O一定在△APE的外接圆上；

②解：连接OA、AC，如图1所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠B=90°，∠BAC=45°，

∴AC=，

∵A、P、O、E四点共圆，

∴∠OAP=∠OEP=45°，

∴点O在AC上，

当P运动到点B时，O为AC的中点，OA=AC=2，

即点O经过的路径长为2；

（3）解：设△APE的外接圆的圆心为M，作MN⊥AB于N，如图2所示：

则MN∥AE，

∵ME=MP，

∴AN=PN，

∴MN=AE，

设AP=x，则BP=4-x，

由（1）得：△APE∽△BCP，

∴，即，

解得：AE=x-x2=-（x-2）2+1，

∴x=2时，AE的最大值为1，此时MN的值最大=×1=，即△APE的圆心到AB边的距离的最大值为.