Question

【题目】二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M.

求证：PFM为等腰三角形；

（3）作PQFM于点Q，当点P从横坐标2013处运动到横坐标2017处时,请求出点Q运动的路径长.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）2.

【解析】

（1）设抛物线的解析式为y=ax2，将点A的坐标代入求得a的值即可；

（2）由两点间的距离公式可求得PM和PF的长，从而得到PM=PF；

（3）由等腰三角形的性质可知点Q是FM的中点，从而得到OQ是△FHM的中位线，由三角形中位线的性质可求得当点P的横坐标为2013时，OQ=1006.5；当点P的横坐标为2017时，OQ=1008.5，故此可求得点Q运动的路径长．

（1）二次函数解析式为：y=ax2，

∵经过点A（1，），∴a=，∴二次函数的解析式y=x2．

（2）∵点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，

设P（x，x2），则M（x，﹣1），∴PM=x2+1．

由两点间的距离公式可知：PF====，∴PF=PM ，即△PFM为等腰三角形．

（3）如图所示：过点P作PQ⊥FM，垂足为Q．

∵PF=PM，PQ⊥FM，∴FQ=QM．

∵OF=OH，FQ=QM，∴OQ∥HM，且OQ=MH．

当点P的横坐标为2013时，

当点P的横坐标为2017时，

∴点Q运动的路径长：1008.5-1006.5=2．