Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C（0，3），tan∠OAC=．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点H是线段AC上任意一点，过H作直线HN⊥x轴于点N，交抛物线于点P，求线段PH的最大值；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）

【解析】（1）由点C的坐标以及tan∠OAC=．可得出点A的坐标，结合点A、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，由点A、C的解析式利用待定系数法即可求出直线AC的解析式，设N（x，0）（-4<x<0），可找出H、P的坐标，由此即可得出PH关于x的解析式，利用配方法即二次函数的性质即可求出最值.

解：（1）∵C（0，3），

∴OC=3，

∵tan∠OAC=，

∴OA=4，

∴A（﹣4，0）．

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=ax2+2ax+c中，

得 ，

解得： ，

∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3．

（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣4，0）、C（0，3）代入y=kx+b中，

得： ，

解得： ，

∴直线AC的解析式为y=x+3．

设N（x，0）（﹣4＜x＜0），

则H（x， x+3），P（x，﹣x2﹣x+3），

∴PH=﹣x2﹣x+3﹣（x+3）=﹣x2﹣x=﹣（x+2）2+，

∵﹣＜0，

∴PH有最大值，

即当x=﹣2时，PH取最大值，最大值为．