Question

2．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是弧BC的中点，DE与BC交于点F，∠CEA=∠ODB．
（1）请判断直线BD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）当AB=12，BF=3$\sqrt{3}$时，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）直接利用切线的判定方法得出∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°，进而得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠DOB的度数，进而求出BD的长，再利用阴影部分的面积=S_△OBD-S_扇形EOB得出答案．

解答 解：（1）直线BD与⊙O相切                    
证明如下：
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ODB，
∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC，
∴∠DBC+∠ODB=90°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°，
∴直线BD与⊙O相切；

（2）∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC，∴∠OFB=90°，
∵BO=$\frac{1}{2}$AB=6，
∴sin∠DOB=$\frac{BF}{BO}$=$\frac{3\sqrt{3}}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠DOB=60°，
∵∠OBD=90°，
∴tan60°=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{BD}{6}$=$\sqrt{3}$，
∴BD=6$\sqrt{3}$，
∴S=$\frac{6×6\sqrt{3}}{2}$-$\frac{60π×{6}^{2}}{360}$=18$\sqrt{3}$-6π．

点评 此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法以及三角形面积求法，正确得出BD的长是解题关键．