Question

1．已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=6，动点P以每秒$\sqrt{3}$个单位从点B出发沿线段BA、AC运动，过点P作边长为3的等边△FDE，使得点D在线段BC上，点E在线段DC上．
（1）如图（1），当EF经过点A时，动点P运动时间t为多少？
（2）设点P运动t秒时，△ABC与△DEF重叠部分面积为S，求S关于t的函数关系式．
（3）如图（2），在点P的运动过程中，是否存在时间t，使得以点P为圆心，AP为半径的圆与△FDE三边所在的直线相切？如果存在，请直接写出t的值；如不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A作AG⊥BC于G，由锐角三角函数求得AB=2$\sqrt{3}$，BG=$\frac{1}{2}$BC=3，再根据三角函数列方程求解．
（2）根据点P的不同位置分类讨论，由三角形的面积公式列方程求解；
（3）当EF过A点时，PA⊥AC，由（1）解得：t=1，当点E，C重合时，即点P到DF的距离=AP=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，由直角三角形的性质列方程2（$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，求得t=$\frac{8}{3}$，当P到BC的距离=PA，列方程$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}t$，求得t=$\frac{4}{3}$，当点P到EF的距离=PA时，列方程$\frac{\sqrt{3}（t-1）}{2}$=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，求得t=3．

解答  解：（1）过点A作AG⊥BC于G，
∵∠B=30°，
∴AB=2$\sqrt{3}$，
∴BG=$\frac{1}{2}$BC=3，
∵△DEF为正三角形，
∴∠F=∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BPD=∠FPA=30°
∴∠FAP=∠BAE=90°，
由题意得：PB=$\sqrt{3}$t，AP=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴AE=2，
∴AF=1，
∴tan∠FPA=$\frac{AF}{AP}$=$\frac{1}{2\sqrt{3}-\sqrt{3}t}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴t=1；

（2）当0≤t≤1时，如图2，
由（1）得：EF⊥AB，AB=2$\sqrt{3}$，
∵PB=$\sqrt{3}$t，∴PD=t，FP=3-t，FQ=$\frac{3-t}{2}$，PQ=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S=S_△DEF-S_△PQF=$\frac{1}{2}$×$3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}$•$\frac{3-t}{2}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}$（3-t），
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{4}t+\frac{9\sqrt{3}}{8}$；
当1＜t≤2时，如图3，
∵BP=$\sqrt{3}$t，
∴BD=t，
∴CE=6-3-t=3-t，
∴CQ=3$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴S=S_△ABC-S_△BPD-S_△ECH=$\frac{1}{2}×6×\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$$•\sqrt{3}t•\frac{1}{2}t$-$\frac{1}{2}（3\sqrt{3}-\sqrt{3}t）•\frac{3-t}{2}$，
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{2}$t$+\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当2＜t≤3时，如图4，
由（1）得：DF⊥AC，
∵AP=$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$，
∴PC=2$\sqrt{3}-（\sqrt{3}t-2\sqrt{3}）$=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
∴PD=4-t，
∴PF=t-1，
∴PQ=$\sqrt{3}（t-1）$，
∴S=S_△DEF-S_△PFQ=$\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{2}•（t-1）•\sqrt{3}（t-1）$，
∴S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\sqrt{3}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$；
综上所述：S=-$\frac{\sqrt{3}}{8}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{4}t+\frac{9\sqrt{3}}{8}$（0≤t≤1），
S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\frac{3\sqrt{3}}{2}$t$+\frac{3\sqrt{3}}{4}$（1＜t≤2），
S=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²$+\sqrt{3}t+\frac{7\sqrt{3}}{4}$（2＜t≤3）；

（3）当EF过A点时，PA⊥AC，
由（1）解得：t=1，
当点E，C重合时，
即点P到DF的距离=AP=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
∵PC=4$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}$t，
∴2AP=CP，
即：2（$\sqrt{3}t-2\sqrt{3}$）=4$\sqrt{3}-\sqrt{3}t$，
解得：t=$\frac{8}{3}$，
当P到BC的距离=PA，
即；$\frac{\sqrt{3}t}{2}$=2$\sqrt{3}$-$\sqrt{3}t$，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
当点P到EF的距离=PA时，
即：$\frac{\sqrt{3}（t-1）}{2}$=$\sqrt{3}$t-2$\sqrt{3}$，
解得：t=3，
∵2.5秒时运动结束，
∴当t=1，$\frac{4}{3}$时，使得以点P为圆心，AP为半径的圆与△FDE三边所在的直线相切．

点评 本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，动点问题，三角函数，列方程等知识点，特别是（2）（3）两问要根据点P的本题位置求解．