Question

如图①，在□ABCD中，对角线AC⊥AB，BC=10，tan∠B=2．点E是BC边上的动点，过点E作EF⊥BC于点E，交折线AB-AD于点F，以EF为边在其右侧作正方形EFGH，使EH边落在射线BC上．点E从点B出发，以每秒1个单位的速度在BC边上运动，当点E与点C重合时，点E停止运动，设点E的运动时间为t（）秒．

（1）□ABCD的面积为 ；当t= 秒时，点F与点A重合；

（2）点E在运动过程中，连接正方形EFGH的对角线EG，得△EHG，设△EHG与△ABC的重叠部分面积为S，请直接写出S与t的函数关系式以及对应的自变量t的取值范围；

（3）作点B关于点A的对称点Bˊ，连接CBˊ交AD边于点M（如图②），当点F在AD边上时，EF与对角线AC交于点N，连接MN得△MNC．是否存在时间t，使△MNC为等腰三角形？若存在，请求出使△MNC为等腰三角形的时间t；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）40；2

（2）

（3），或，或

【解析】

试题分析：

（1）考查学生利用平行四边形和直角三角形解决基本问题的能力，运用直角三角形勾股定理和三角函数即可得解．

（2）关键确定几个分界点，通过题意及动点所在位置，确定几个分界，通过等式得出函数关系式．

（3）注意分类情况，可能是CN=CM 或MN=MC或 MN=NC，分别解出即可．

试题解析：

 

（1）∵AC⊥AB，∴在Rt△BAC中BC=10，

tan∠B=2

又

∴AC=，AB= ∴SRt△BAC=40

∴BE=2 ∴

（2）依题意得分类可得，①当△EHG与△ABC的重叠部分都

在△ABC内部，S最大面积时，G落在AC上，则

△BEF∽△AFG， AF=，BF=，AF+BF=，∴ ，S=（）

②当F点与A点重合时， 即，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得

S=

③当F点过A点时，则当时，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得

S=

④当时，利用相似三角形、线段相互关系和面积关系，得

S=

（3）CM=CN时，

MC=MN时，

NM=NC时，

考点：1．平行四边形性质；2．相似三角形判定及性质定理；3．动点与取值范围的关系．