Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为_____．

Answer 1

【答案】3或9

【解析】

如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．

解：如图，连接CP，BQ，

∵△ABC，△APQ是等边三角形，

∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，

∴△ACP≌△ABQ(SAS)

∴BQ＝CP，

∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，

∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴AP＝PB＝3＝AQ，

∴点Q运动路线的长为3，

当点P在BC上运动时，点Q在BH上运用，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴PQ＝PB，

∴BP＝BQ＝3，

∴点Q运动路线的长为3+6＝9，

故答案为：3或9．