Question

【题目】如图1，△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α，把△ABD沿BD对折，A对应点为A'．

（1）①当α＝15°时，∠CBA'＝　 　；

②用α表示∠CBA'为　 　．

（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠1＝∠2＝α．

①当0°＜α＜60°时，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．

②BP＝8，CP＝n，则CA'＝　 　．（用含n的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）①30°；②60°﹣2α；（2）①BP＝AP+CP，理由见解析；②8﹣2n

【解析】

（1）先求出∠ABC＝60°，得出∠ABD＝60°﹣α，再由折叠得出∠A'BD＝60°﹣α，即可得出结论；

（2）①先判断出△BP'C≌△APC，得出CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，再判断出△CPP'是等边三角形，得出PP'＝CP；

②先求出∠BCP＝120°﹣α，再求出∠BCA'＝60°+α，判断出点A'，C，P在同一条直线上，即：PA'＝PC+CA'，再判断出△ADP≌△A'DP(SAS)，得出A'P＝AP，即可得出结论．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC＝60°，

∵∠CBD＝α，

∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝60°﹣α，

由折叠知，∠A'BD＝∠ABD＝60°﹣α，

∴∠CBA'＝∠A'BD﹣∠CBD＝60°﹣α﹣α＝60°﹣2α，

①当α＝15°时，∠CBA'＝60°﹣2α＝30°，

故答案为30°；

②用α表示∠CBA'为60°﹣2α，

故答案为60°﹣2α；

（2）①BP＝AP+CP，理由：如图2，连接CP，

在BP上取一点P'，使BP'＝AP，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，BC＝AC，

∵∠1＝∠2＝α，

∴△BP'C≌△APC(SAS)，

∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，

∴∠PCP'＝∠ACP+∠ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，

∵CP'＝CP，

∴△CPP'是等边三角形，

∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，

∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP；

②如图3，

由①知，∠BPC＝60°，

∴∠BCP＝180°﹣∠BPC﹣∠PBC＝180°﹣60°﹣α＝120°﹣α，

由（1）知，∠CBA'＝60°﹣2α，

由折叠知，BA＝BA'，

∵BA＝BC，

∴BA'＝BC，

∴∠BCA'＝(180°﹣∠CBA')＝[180°﹣(60°﹣2α)]＝60°+α，

∴∠BCP+∠BCA'＝120°﹣α+60°+α＝180°，

∴点A'，C，P在同一条直线上，

即：PA'＝PC+CA'，

由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，

∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，

∴∠ADP＝∠A'DP，

∵DP＝DP，

∴△ADP≌△A'DP(SAS)，

∴A'P＝AP，

由①知，BP＝AP+CP，

∵BP＝8，CP＝n，

∴AP＝BP﹣CP＝8﹣n，

∴A'P＝8﹣n，

∴CA'＝A'P﹣CP＝8﹣n﹣n＝8﹣2n，

故答案为：8﹣2n．