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【题目】已知的三边长都是整数,且的最大公约数为.点和点分别为的重心和内心,且.则的周长为________

【答案】

【解析】

延长GI分别交BC于点P,AC于点Q,首先证明△CPQ为等腰三角形,根据内心和重心的知识分别表示出△PCQ的面积,进而求出a,b,c之间的等量关系式,最后对a,b,c进行讨论,进而求出a,bc的值.

延长GI分别交BC于点P,AC于点Q,

∵∠GIC=90°,

GICI,I是内心,

∴△CPQ为等腰三角形,

PC=QC,

SPCQ=2SCQI=r×CQ(r为三角形ABC内切圆半径)

SPCQ=SPGC+SCGQ=PCha(haGEBC的高)+CQhb(hbGFAC的高)=CQ(ha+hb)=r×CQ,

2r=ha+hb

r=

SABC=×aha'(ha'AMBC的高)=×aha,

ha=,hb=

ha+hb=+

把②③代入①得

a=2,b=2时,c=2,

∵△ABC为等边三角形,

GI重合,舍去,

a≠b,

a>b,a=2m,b=2n,

a、b的最大公约数为2,

(m,n)=1,

m+n整除12,

m=7,n=5,

a=14,b=10,c=11,

a+b+c=35.

故答案为:35

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