Question

【问题提出】学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】

第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据 ，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若 ，则△ABC≌△DEF．

 

 

Answer 1

（1）HL；（4）∠B≥∠A．

【解析】

试题分析：（1）根据直角三角形全等的判定方法“HL”证明即可.

（2）过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，根据等角的补角相等求出∠CBG=∠FEH，再利用“角角边”证明△CBG和△FEH全等，得出：CG=FH，再利用“HL”证明Rt△ACG和Rt△DFH全等，得∠A=∠D，即可证明△ABC和△DEF全等；

（3）以点C为圆心，以AC长为半径画弧，与AB相交于点D，E与B重合，F与C重合，得到△ABC和△DEF不全等；

（4）根据三种情况结论，∠B不小于∠A的结论即可.

试题解析：（1）【解析】
HL；

（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作DH⊥DE交DE的延长线于H，

∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，

∴180°﹣∠B=180°﹣∠E，

即∠CBG=∠FEH，

在△CBG和△FEH中，

，

∴△CBG≌△FEH（AAS），

∴CG=FH，

在Rt△ACG和Rt△DFH中，

，

∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS）；

（3）【解析】
如图，△DEF和△ABC不全等；

（4）【解析】
若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．

考点：三角形综合题.