Question

6．如图，△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，E为△ABC外一点，连结AE、BE、CE，若∠BEC=90°，AE=$\sqrt{13}$BE，则tan∠BCE=$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 过点A作AF⊥EC，垂足为F，先证明△AFC≌△CEB，从而可证明FC=BE，AF=EC，设ED=x，EC=y，则FC=x，AF=y，FE=y-x，AE=$\sqrt{13}$x，在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²=EF²+AF²，即$（\sqrt{13}x）^{2}=（y-x）^{2}+{y}^{2}$，从而可求得$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$，从而可求得tan∠BCE的值．

解答 解：过点A作AF⊥EC，垂足为F．

∵AF⊥EC，∠BEC=90°，
∴∠BEC=∠AFC．
∵∠EBC+∠BCE=90°，∠BCE+∠FCA=90°，
∴∠BCE=∠FCA
在△AFC和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠AFC}\\{∠BCE=∠FCA}\\{AC=BC}\end{array}\right.$．
∴△AFC≌△CEB．
∴FC=BE，AF=EC．
设ED=x，EC=y，则FC=x，AF=y，FE=y-x，AE=$\sqrt{13}$x．
在Rt△AEF中，由勾股定理得：AE²=EF²+AF²，即$（\sqrt{13}x）^{2}=（y-x）^{2}+{y}^{2}$，
整理得：6x²+xy-y²=0，
∴（2x+y）（3x-y）=0．
∴$\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$或$\frac{x}{y}=-\frac{1}{2}$（舍去）．
∴tan∠BCE=$\frac{BE}{EC}=\frac{x}{y}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、勾股定理、锐角三角函数的定义以及因式分解法解方程，在Rt△AEF中，由勾股定理得建立方程是解题的关键．