Question

10．研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x（吨）时，所需的全部费用y（万元）与x满足关系式y=$\frac{1}{10}{x^2}$+5x+90，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价p_甲、p_乙（万元）均与x满足一次函数关系．（注：年利润=年销售额-全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售x吨时，p_甲=-$\frac{1}{20}$x+14，请你用含x的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润w_甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售x吨时，p_乙=-$\frac{1}{10}$x+n（n为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定n的值．
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

Answer 1

分析 （1）依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W_甲（万元）与x之间的函数关系式；
（2）求出利润W_乙（万元）与x之间的函数关系式，根据最大年利润为35万元．求出n的值；
（3）分别求出x=18时，W_甲和W_乙的值，通过比较W_甲和W_乙大小就可以帮助投资商做出选择．

解答 解：（1）甲地当年的年销售额为（-$\frac{1}{20}$x+14）•x=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）万元；
w_甲=（-$\frac{1}{20}$x²+14x）-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90．
（2）在乙地区生产并销售时，年利润：
w_乙=-$\frac{1}{10}$x²+nx-（$\frac{1}{10}$x²+5x+90）=-$\frac{1}{5}$x²+（n-5）x-90．
由$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=35，
解得n=15或-5．
经检验，n=-5不合题意，舍去，
∴n=15．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润：
w_乙=-$\frac{1}{5}$x²+10x-90，
将x=18代入上式，得w_乙=25.2（万元）；
将x=18代入w_甲=-$\frac{3}{20}$x²+9x-90，
得w_甲=23.4（万元）．
∵W_乙＞W_甲，
∴应选乙地．

点评 考查了二次函数的应用，本题是一道最佳方案选择题，通过计算、比较同一个自变量的两个函数值的大小来选择最佳方案．依据年利润=年销售额-全部费用即可求得利润W_甲（万元）与x之间的函数关系式及利润W_乙（万元）与x之间的函数关系式，分别求出x=18时，W_甲和W_乙的值，通过比较W_甲和W_乙大小就可以帮助投资商做出选择．