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【题目】⊙O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点PBC上,点Q⊙O上,且OP⊥PQ.

(1)如图当PQ∥AB时,求PQ的长;

(2)当点PBC上移动时,线段PQ长的最大值为______;此时,∠POQ的度数为______.

【答案】(1);(2),60°

【解析】

连结OQ,如图1,由PQ∥AB,OP⊥PQ得到OP⊥AB,在Rt△OBP中,利用正切定义可计算出OP=3tan30°=,然后在Rt△OPQ中利用勾股定理可计算出PQ=
(2)连结OQ,如图2,在Rt△OPQ中,根据勾股定理得到PQ= PQ=,则当OP的长最小时,PQ的长最大,根据垂线段最短得到OP⊥BC,则OP=OB=,所以PQ长的最大值=

解:(1)解:(1)连结OQ,如图1,

PQABOPPQ

OPAB

RtOBP中,∵tanB=

OP=3tan30°=

RtOPQ中,∵OP=OQ=3,

PQ= =

(2)连结OQ,如图2,

RtOPQ中,PQ==

OP的长最小时,PQ的长最大,

此时OPBC,则OP=OB=

PQ长的最大值为 = ,

RtQPO中,tanPOQ= ==

则∠POQ=60°,

故答案为:,60°.

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